19 年数一反常积分改编
在 2019 数一真题中的第 17 题我采用了拉普拉斯变换和换元两种方法解决。本节来看一道本题的改编版本，看看你是否真的掌握了这类题。
改编 ¶
Example
设 \(n\) 为正整数，记 \(S_{n}\) 为曲线 \(y=\mathrm{e}^{ -nx }\sin x\quad(0\leqslant x\leqslant n\pi)\) 与 \(x\) 轴所围成图形的面积，求极限 \(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }n^{2}S_{n}\)
由于 \(\sin x\) 在区间 \([0, n\pi]\) 内有正有负，因此需要对函数取绝对值，得到 \(S_{n}\) 的表达式如下：
\[
S_n = \int_0^{n\pi} \vert{}e^{-nx}\sin x\vert{} \, \mathrm{~d} x = \int_0^{n\pi} e^{-nx}\vert{}\sin x\vert{} \, \mathrm{~d} x
\]
我们希望使用拉普拉斯变换，因此需要研究无穷区间上的积分结果和 \(S_{n}\) 的关系，将无界区间的积分拆分为两部分：
\[
\int_0^{+\infty} e^{-nx}\vert{}\sin x\vert{} \, \mathrm{~d} x = \int_0^{n\pi} e^{-nx}\vert{}\sin x\vert{} \, \mathrm{~d} x + \int_{n\pi}^{+\infty} e^{-nx}\vert{}\sin x\vert{} \, \mathrm{~d} x
\]
第一项即为 \(S_n\)。对于后一项，作换元 \(x := x + n\pi\)：
\[
\begin{aligned}
\int_{n\pi}^{+\infty} e^{-nx}\vert{}\sin x\vert{} \, \mathrm{~d} x &= \int_0^{+\infty} e^{-n(x+n\pi)}\vert{}\sin(x+n\pi)\vert{} \, \mathrm{~d} x\\
&= e^{-n^2\pi} \int_0^{+\infty} e^{-nx}\vert{}\sin x\vert{} \, \mathrm{~d} x
\end{aligned}
\]
代回原式可得：
\[
\int_0^{+\infty} e^{-nx}\vert{}\sin x\vert{} \, \mathrm{~d} x = S_n + e^{-n^2\pi} \int_0^{+\infty} e^{-nx}\vert{}\sin x\vert{} \, \mathrm{~d} x
\]
移项即可将 \(S_n\) 表示为：
\[
S_n = (1 - e^{-n^2\pi}) \int_0^{+\infty} e^{-nx}\vert{}\sin x\vert{} \, \mathrm{~d} x
\]
这样我们就可以使用拉普拉斯变换直接得到 \(S_{n}\) 的表达式了！
不会拉普拉斯变换的同学可以移步下文，详细介绍了反常积分板块常用的公式和性质：拉普拉斯变换
\[
\begin{aligned}
S_n &= (1 - e^{-n^2\pi}) \frac{1}{1 - e^{-n\pi}} \int_0^\pi e^{-nx}\sin x \, \mathrm{~d} x\\
&= \frac{1 - e^{-n^2\pi}}{1 - e^{-n\pi}}\cdot \left[ \frac{e^{-nx}}{n^2+1}(-n\sin x - \cos x) \right]_0^\pi\\
&= \frac{1 - e^{-n^2\pi}}{1 - e^{-n\pi}} \cdot \frac{1 + e^{-n\pi}}{n^2+1}
\end{aligned}
\]
最后求 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^2 S_n\) 即可：
\[
\lim_{n \to \infty} n^2 S_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2}{n^2+1} \cdot \frac{1 - e^{-n^2\pi}}{1 - e^{-n\pi}} \cdot (1 + e^{-n\pi}) \right)=1
\]
Summary
有同学看到本题没有无穷区间的积分，就下意识觉得用不了拉普拉斯变换，事实上只要对无穷区间进行拆分就可以得到想要的效果，公式很简单，能灵活运用才是关键。
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