周期性神级结论 1
本小节再分享一个和取整函数有关的经典结论，使用的方法正是上一小节中介绍的黎曼 - 勒贝格引理（\(\mathrm{Riemann-Lebesgue\; Lemma}\)）。忘记的朋友赶紧复习一下上一小节的内容哦！
例题
Example
求：
\[
\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \left\{ \frac{n}{x} \right\}^k \mathrm{d}x
\]
其中 \(\{ x\} = x - [x]\)，\([x]\) 表示不超过 \(x\) 的最大整数。
引理
若 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 是 \([0,1]\) 上的连续函数，则：
\[
\lim_{y \to \infty} \int_0^1 f\left(\left\{ \frac{y}{x} \right\}\right) g(x) \mathrm{d}x = \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x \int_0^1 g(x) \mathrm{d}x
\]
证明：做倒代换，令 \(t = \dfrac{1}{x}\)，则 \(x = \dfrac{1}{t}\)，微分 \(\mathrm{d}x = -\dfrac{1}{t^2} \mathrm{d}t\)。
代入原积分中（为了方便阅读，我在换元后仍用 \(x\) 作为积分变量）：
\[
\int_0^1 f\left(\left\{ \frac{y}{x} \right\}\right) g(x) \mathrm{d}x = \int_1^\infty f(\{yx\}) \frac{g\left( \dfrac1x \right) }{x^2} \mathrm{d}x
\]
因为 \(\{x\}\) 是周期为 1 的函数（昨日推文重点），根据复合函数的性质我们可以得出 \(f(\{x\})\) 也是以 1 为周期的周期函数。根据昨天推文中介绍的 \(\mathrm{Riemann-Lebesgue\; Lemma}\) 的无穷区间形式：当 \(y \to \infty\) 时，周期函数可以用它在一个周期内的平均值来替代：
\[
\lim_{y \to \infty} \int_1^\infty f(\{yx\}) \frac{g\left( \dfrac1x \right) }{x^2} \mathrm{d}x = \left( \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x \right) \cdot \int_1^\infty \frac{g\left( \dfrac1x \right) }{x^2} \mathrm{d}x
\]
下面对第二个积分 \(\displaystyle\int_1^\infty \frac{g\left( \dfrac1x \right)}{x^2} \mathrm{d}x\) 再次做换元，令 \(u = \dfrac{1}{x}\)，则 \(\mathrm{d}u = -\dfrac{1}{x^2}\mathrm{d}x\)：
\[
\int_1^\infty \frac{g\left( \dfrac1x \right) }{x^2} \mathrm{d}x = \int_0^1 g(u) \mathrm{d}u
\]
由此完成了引理的证明：
\[
\lim_{y \to \infty} \int_0^1 f\left(\left\{ \frac{y}{x} \right\}\right) g(x) \mathrm{d}x = \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x \int_0^1 g(x) \mathrm{d}x
\]
回到原题，对应引理中的各项，我们令：
- \(y = n\)
- \(f(x) = x^k\)
- \(g(x) = 1\)
直接代入引理的结论中，即可将极限拆分为两个定积分的乘积：
\[
\begin{aligned}
\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \left\{ \frac{n}{x} \right\}^k \mathrm{d}x &= \int_0^1 x^k \mathrm{d}x \cdot \int_0^1 1 \mathrm{d}x\\
&=\left. \frac{x^{k+1}}{k+1} \right|_0^1 \\
&= \frac{1}{k+1}
\end{aligned}
\]
综上：
\[
\boxed{\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \left\{ \frac{n}{x} \right\}^k \mathrm{d}x = \frac{1}{k+1}}
\]
Tip
这道极限积分题看似复杂，核心落脚点依旧是小数部分函数 \(\{x\}\) 的周期性，再结合黎曼 - 勒贝格引理的无穷区间形式实现快速求解。
很多同学面对带取整、小数部分的积分极限容易无从下手，本质是不熟悉周期函数在无穷振荡下的均值性质。后续遇到同类 \(\{\dfrac n x\}\)、\(\{nx\}\) 型积分极限，都可以尝试沿用这套思路，大幅规避繁琐分段讨论。
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