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2014 年

第 1 题

Example

下列曲线中有渐近线的是 ?

(A) \(y = x + \sin x\).

(B) \(y = x^2 + \sin x\).

(C) \(y = x + \sin \dfrac{1}{x}\).

(D) \(y = x^2 + \sin \dfrac{1}{x}\).

AB 显然错，对于 C 和 D 简单分析即可，答案选 C。

第 2 题

Example

设函数 \(f(x)\) 具有 2 阶导数，\(g(x) = f(0)(1-x)+f(1)x\)，则在区间 \([0,1]\) 上 ?

(A) 当 \(f'(x)\geqslant 0\) 时，\(f(x)\geqslant g(x)\).

(B) 当 \(f'(x)\geqslant 0\) 时，\(f(x)\leqslant g(x)\).

(C) 当 \(f''(x)\geqslant 0\) 时，\(f(x)\geqslant g(x)\).

(D) 当 \(f''(x)\geqslant 0\) 时，\(f(x)\leqslant g(x)\).

本质考察凹凸性，选 D。

第 3 题

Example

设 \(f(x,y)\) 是连续函数，则 \(\displaystyle \int_{0}^{1}\mathrm{d}y\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{1-y}f(x,y)\mathrm{d}x=\) ?

(A) \(\displaystyle \int_{0}^{1}\mathrm{d}x\int_{0}^{x-1}f(x,y)\mathrm{d}y+\int_{-1}^{0}\mathrm{d}x\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}}f(x,y)\mathrm{d}y\).

(B) \(\displaystyle \int_{0}^{1}\mathrm{d}x\int_{0}^{1-x}f(x,y)\mathrm{d}y+\int_{-1}^{0}\mathrm{d}x\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{0}f(x,y)\mathrm{d}y\).

(C) \(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{\frac{1}{\cos\theta+\sin\theta}}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\mathrm{d}r+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{1}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\mathrm{d}r\).

(D) \(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{\frac{1}{\cos\theta+\sin\theta}}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\mathrm{d}r+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{1}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\mathrm{d}r\).

选 D，过程如图：

第 4 题

Example

若

\[ \int_{-\pi}^{\pi}\big(x-a_1\cos x-b_1\sin x\big)^2\mathrm{d}x =\min_{a,b\in\mathbb{R}}\left\{\int_{-\pi}^{\pi}\big(x-a\cos x-b\sin x\big)^2\mathrm{d}x\right\}, \]

则 \(a_1\cos x+b_1\sin x=\) ?

(A) \(2\sin x\).

(B) \(2\cos x\).

(C) \(2\pi\sin x\).

(D) \(2\pi\cos x\).

选 A。看着很吓人，实际就是求定积分取得最小值时 \(a\) 和 \(b\) 的值。求出定积分后问题就变成了二元函数无条件极值问题。注意在定积分计算中运用之前反复讲过的如下结论可以简化计算：

\[ \int_{0}^{\pi} xf(\sin x) \mathrm{~d} x = \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{~d} x \]

第 5 题

Example

行列式\(\begin{vmatrix} 0 & a & b & 0\\ a & 0 & 0 & b\\ 0 & c & d & 0\\ c & 0 & 0 & d \end{vmatrix}=\) ?

(A) \((ad-bc)^2\).

(B) \(-(ad-bc)^2\).

(C) \(a^2d^2-b^2c^2\).

(D) \(b^2c^2-a^2d^2\).

选 B。通过交换行、列得到一个分块对角形行列式，套用 \(\mathrm{Laplace}\) 展开结论即可。当然一上来就直接 \(\mathrm{Laplace}\) 展开也是可以的。

第 6 题

Example

设 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 均为 3 维向量，则对任意常数 \(k,l\)，向量组 \(\alpha_1+k\alpha_3\)，\(\alpha_2+l\alpha_3\) 线性无关是向量组 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 线性无关的 ?

(A) 必要非充分条件 .

(B) 充分非必要条件 .

(C) 充分必要条件 .

(D) 既非充分也非必要条件 .

选 A。这类题讲过很多遍了，从定义或者矩阵的秩两个角度思考即可。

第 7 题

Example

设随机事件 \(A\) 与 \(B\) 相互独立，且 \(P(B)=0.5,\ P(A-B)=0.3\)，则 \(P(B-A)=\) ?

(A) \(0.1\).

(B) \(0.2\).

(C) \(0.3\).

(D) \(0.4\).

选 B，基础题。

第 8 题

Example

设连续型随机变量 \(X_1\) 与 \(X_2\) 相互独立且方差均存在，\(X_1\) 与 \(X_2\) 概率密度分别为 \(f_1(x)\) 与 \(f_2(x)\)，随机变量 \(Y_1\) 的概率密度为 \(f_{Y_1}(y)=\dfrac{1}{2}\big[f_1(y)+f_2(y)\big]\)，随机变量 \(Y_2=\dfrac{1}{2}(X_1+X_2)\)，则 ?

(A) \(E(Y_1)>E(Y_2),D(Y_1)>D(Y_2)\).

(B) \(E(Y_1)=E(Y_2),D(Y_1)=D(Y_2)\).

(C) \(E(Y_1)=E(Y_2),D(Y_1)<D(Y_2)\).

(D) \(E(Y_1)=E(Y_2),D(Y_1)>D(Y_2)\).

根据定义计算即可，选 D。

第 9 题

Example

曲面 \(z=x^2(1-\sin y)+y^2(1-\sin x)\) 在点 \((1,0,1)\) 处的切平面方程为 ?

基础题。

第 10 题

Example

设 \(f(x)\) 是周期为 \(4\) 的可导奇函数，且 \(f'(x)=2(x-1),\ x\in[0,2]\)，则 \(f(7)=\) ?

奇函数，所以有 \(f(0)=0\)，求出函数表达式后利用周期性即可。

第 11 题

Example

微分方程 \(xy'+y(\ln x-\ln y)=0\) 满足条件 \(y(1)=\mathrm{e}^3\) 的解为 \(y=\) ?

换元后可分离变量。

第 12 题

Example

设 \(L\) 是柱面 \(x^2+y^2=1\) 与平面 \(y+z=0\) 的交线，从 \(z\) 轴正向往 \(z\) 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 \(\displaystyle\oint_L z\,\mathrm{d}x+y\,\mathrm{d}z=\) ?

斯托克斯。

第 13 题

Example

设二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-x_2^2+2ax_1x_3+4x_2x_3\) 的负惯性指数为 \(1\)，则 \(a\) 的取值范围是 ?

直接配方：\(f=(x_{1}+ax_{3})^{2}-(x_{2}-2x_{3})^{2}+(4-a^{2})x_{3}^{2}\)，所以 \(4-a^{2}\geqslant 0\) 就秒了。

当然常规方法也需要掌握，过程如图：

第 14 题

Example

设总体 \(X\) 的概率密度为

\[ f(x;\theta)= \begin{cases} \dfrac{2x}{3\theta^2}, & \theta < x < 2\theta,\\[4pt] 0, & \text{其他}, \end{cases} \]

其中 \(\theta\) 是未知参数，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 为来自总体 \(X\) 的简单随机样本，若 \(c\displaystyle\sum_{i=1}^n X_i^2\) 是 \(\theta^2\) 的无偏估计，则 \(c=\) ?

根据无偏估计的定义即可。

第 15 题

Example

求极限

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\displaystyle\int_{1}^{x}\big[t^2\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{t}}-1\right)-t\big]\mathrm{d}t}{x^2\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}. \]

含有变限积分，考虑洛必达。

第 16 题

Example

设函数 \(y=f(x)\) 由方程 \(y^3+xy^2+x^2y+6=0\) 确定，求 \(f(x)\) 的极值 .

基础题。

第 17 题

Example

设函数 \(f(u)\) 具有二阶连续导数，\(z=f(\mathrm{e}^x\cos y)\) 满足

\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} =\big(4z+\mathrm{e}^x\cos y\big)\mathrm{e}^{2x}. \]

若 \(f(0)=0,\ f'(0)=0\)，求 \(f(u)\) 的表达式。

对题干等式化简，并做换元 \(u=\mathrm{e}^{ x }\cos y\) 即可得到关于 \(f(u)\) 的一个二阶线性非齐次微分方程，求解即可。

第 18 题

Example

设 \(\Sigma\) 为曲面 \(z=x^2+y^2\ (z\leqslant 1)\) 的上侧，计算曲面积分

\[ I=\iint_\Sigma (x-1)^3\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y-1)^3\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(z-1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y. \]

补面加高斯，注意对称性的运用。

第 19 题

Example

设数列 \(\{a_n\},\{b_n\}\) 满足 \(0<a_n<\dfrac{\pi}{2},\ 0<b_n<\dfrac{\pi}{2},\ \cos a_n-a_n=\cos b_n\)，且级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) 收敛。

(1) 证明 \(\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0\)；

(2) 证明级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{a_n}{b_n}\) 收敛。

第一问，根据 \(a_{n}>0\) 结合余弦函数的单调性得到 \(b_{n}>a_{n}\)，再根据正项级数的比较判别法即可完成证明。

第二问，对通项使用和差化积化简即可。

第 20 题

Example

设

\[ A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -4\\ 0 & 1 & -1 & 1\\ 1 & 2 & 0 & -3 \end{pmatrix}, \]

\(E\) 为 \(3\) 阶单位矩阵。

(1) 求方程组 \(Ax=\boldsymbol{0}\) 的一个基础解系；

(2) 求满足 \(AB=E\) 的所有矩阵 \(B\)。

第一问送分。

第二问，其实很简单，考虑 \(B_{0}\) 是满足 \(AB=E\) 的一个特解，那么有 \(AB_{0}=AB=E\)，两式作差得到 \(A(B-B_{0})=O\)，也就是 \(B-B_{0}\) 的每一列都是齐次方程组 \(Ax=0\) 的解，所以得到 \(B-B_{0}=\xi(k_{1},k_{2},k_{3})\)，移项就得到了通解。

第 21 题

Example

证明 \(n\) 阶矩阵

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ 1 & 1 & \cdots & 1\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \quad\text{与}\quad \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1\\ 0 & \cdots & 0 & 2\\ \vdots & & \vdots & \vdots\\ 0 & \cdots & 0 & n \end{pmatrix} \]

相似。

\(A\) 是秩一矩阵，\(B\) 是对角阵，所以特征值都可以直接得到，而 \(A\) 是实对称矩阵，所以一定可以相似对角化；\(B\) 的重特征值满足几何重数等于代数重数，所以也可以相似对角化。根据相似的传递性即可完成证明。

第 22 题

Example

设随机变量 \(X\) 的概率分布为 \(P\{X=1\}=P\{X=2\}=\dfrac{1}{2}\)。在给定 \(X=i\) 的条件下，随机变量 \(Y\) 服从均匀分布 \(U(0,i)\ (i=1,2)\)。

(1) 求 \(Y\) 的分布函数 \(F_Y(y)\)；

(2) 求 \(E(Y)\)。

第一问，一个离散一个连续，直接根据全概率公式拆开即可。

第二问，对第一问求出的分布函数求导得到概率密度函数，然后使用期望的定义即可。

第 23 题

Example

设总体 \(X\) 的分布函数为

\[ F(x;\theta)= \begin{cases} 1-\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{\theta}}, & x\geqslant 0,\\ 0, & x < 0, \end{cases} \]

其中 \(\theta\) 是未知参数且大于零。\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 为来自总体 \(X\) 的简单随机样本。

(1) 求 \(E(X)\) 与 \(E(X^2)\)；

(2) 求 \(\theta\) 的最大似然估计量 \(\widehat{\theta}_n\)；

(3) 是否存在实数 \(a\)，使得对任何 \(\varepsilon>0\)，都有 \(\lim\limits_{n\to\infty} P\big\{|\widehat{\theta}_n-a|\geqslant \varepsilon\big\}=0\)？

前两问都很基础。

第三问考察辛钦大数定律，算是比较冷门的考点。

以上就是对于 2014 年数一真题的全部解答，比较综合的一套真题，第 11 题并不是一道很显然的微分方程题目；第 19 题是一道很好的级数敛散性证明题；第 20 题是很新的一种考法，本质考察的还是对齐次、非齐次方程解的结构的掌握情况；最后一题第三问考察辛钦大数定律，算是比较冷门的考点。

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