Stolz 巧解定积分定义型极限问题
本解分享的题目是一道使用定积分定义求解极限的经典例题，既然方法大家都知道，那我选择这个题目的意义是什么呢？没错，这种题目还可以使用 \(\mathrm{Stolz}\) 定理求解！
例题
Example
\[
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sqrt{1+\frac{i}{n}}
\]
方法 1：定积分定义
因为这是典型的黎曼和形式，所以直接利用定义无需整理结构：
令：
\[
\Delta x = \frac{1}{n},\quad x_i = \frac{i}{n}
\]
则当 \(n\to\infty\) 时：
\[
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sqrt{1+\frac{i}{n}} = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \sqrt{1+x_i}\,\Delta x = \int_{0}^{1} \sqrt{1+x}\,dx
\]
然后就是计算一个毫无难度的幂函数积分了，结果为：\(\dfrac{2(2\sqrt{2}-1)}{3}\)
下面重点看方法 2:
方法 2：Stolz 定理
首先给出定理：
Stolz 定理
前提：分母严格单调
设数列 \(\{x_n\}\)，\(\{y_n\}\)
- \(\{y_n\}\) 从某一项开始严格单调递增趋于 \(+\infty\)
若
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{x_n - x_{n-1}}{y_n - y_{n-1}} = A,
\]
则
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n} = A.
\]
- \(\{y_n\}\) 从某一项开始严格单调递减趋于 \(0\)，且 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n = 0\)
若
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{x_n - x_{n-1}}{y_n - y_{n-1}} = A,
\]
则
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n} = A.
\]
Tip
其中 \(A\) 既可以是有限量也可以是 \(+\infty, -\infty\)，但 \(\infty\) 情形结论可能不成立，例如：
\[
x_n = \dfrac{1}{2}\left[1+(-1)^n\right]n^2,\quad\ y_n = n
\]
相信老师在第一次介绍这个定理的时候，都会形容它为“离散版本的洛必达”。那么为了凑出无穷比无穷的结构，我们考虑将根号中的 \(n\) 拿到根号外面来：
\[
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\sqrt{1+\frac{i}{n}} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{\sqrt{n+i}}{\sqrt{n}} = \frac{1}{n^{3/2}}\sum_{i=1}^n \sqrt{n+i}
\]
记：
\[
x_n = \sum_{i=1}^n \sqrt{n+i},\quad y_n = n^{3/2}
\]
则原式为：
\[
L = \lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{y_n}
\]
好了，现在就可以应用 \(\mathrm{Stolz}\) 定理（\(\infty/\infty\) 型）了
因为 \(y_n\) 严格递增趋于 \(+\infty\)，且 \(x_n\) 也趋于 \(+\infty\)，满足 \(\mathrm{Stolz}\) 定理条件：
\[
\lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{y_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}
\]
于是：
\[
L = \lim_{n \to \infty}\frac{\sum\limits_{i=1}^{n+1}\sqrt{n+1+i}-\sum\limits_{i=1}^n\sqrt{n+i}}{(n+1)^{3/2}-n^{3/2}}
\]
首先化简分子：先对分子做下标平移：
\[
\sum\limits_{i=1}^{n+1}\sqrt{n+1+i} = \sum\limits_{i=2}^{n+2}\sqrt{n+i}
\]
所以：
\[
x_{n+1}-x_n = \sum_{i=2}^{n+2}\sqrt{n+i} - \sum_{i=1}^n\sqrt{n+i}
\]
两式相减，中间项抵消：
\[
\sum_{i=2}^{n+2}\sqrt{n+i} - \sum_{i=1}^n\sqrt{n+i} = \sqrt{n+(n+1)} + \sqrt{n+(n+2)} - \sqrt{n+1}
\]
即：
\[
x_{n+1}-x_n = \sqrt{2n+1} + \sqrt{2n+2} - \sqrt{n+1}
\]
然后化简分母：
\[
(n+1)^{3/2} - n^{3/2} = n^{3/2}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3/2}-1\right]
\]
使用用等价无穷小：当 \(t\to 0\) 时，\((1+t)^\alpha - 1 \sim \alpha t\)，这里 \(t=\dfrac{1}{n}\)，\(\alpha=\dfrac{3}{2}\)，故：
\[
(n+1)^{3/2} - n^{3/2} \sim n^{3/2} \cdot \frac{3}{2n} = \frac{3}{2}n^{1/2}
\]
代入并化简极限：
\[
\begin{aligned}L &= \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{2n+1} + \sqrt{2n+2} - \sqrt{n+1}}{n^{3/2}\cdot\frac{3}{2n}} \\&= \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{2n+1} + \sqrt{2n+2} - \sqrt{n+1}}{\frac{3}{2}n^{1/2}}
\\&=\frac{2}{3}\lim_{n\to\infty} \left( \sqrt{2+\frac{1}{n}} + \sqrt{2+\frac{2}{n}} - \sqrt{1+\frac{1}{n}} \right)
\end{aligned}
\]
当 \(n\to\infty\) 时，\(\dfrac{1}{n}\to 0\)，所以：
\[
L = \frac{2}{3}(\sqrt{2} + \sqrt{2} - 1) = \frac{2}{3}(2\sqrt{2}-1)
\]
本节的题目难度不大，大家在考场上遇到这种题目当然要毫不犹豫地选择第一种方法——定积分定义求解，当然，本节的重点是希望大家掌握定理的运用。很多简单题目多从不同的角度去思考往往会有新的收获哦！
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