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二阶变系数微分方程

本节带来一道二阶变系数齐次线性微分方程：

Example

求 \(x^2 (\ln x) y'' - x y' + y = 0\) 通解

这类题目的突破口是通过观察找出一个特解，然后使用降阶法或者刘维尔定理得到另一个特解。

方法 1

观察原方程，尝试使用幂函数或简单函数作为试探解。令 \(y = x\)，代入得：

\[ x^2 (\ln x)(0) - x(1) + x = -x + x = 0 \]

这说明 \(y_1 = x\) 是方程的一个特解。

根据常数变易法（更准确地在这里叫做“达朗贝尔降阶法”），设第二个解为 \(y = u(x) \cdot x\)，将 \(y, y', y''\) 代入原方程：

\[ x^2 (\ln x) (u''x + 2u') - x (u'x + u) + u x = 0 \]

展开并化简：

\[ \begin{aligned} x^3 (\ln x) u'' + 2x^2 (\ln x) u' - x^2 u' - xu + xu &= 0\\[0.2cm] x^3 (\ln x) u'' + (2x^2 \ln x - x^2) u' = 0 \end{aligned} \]

两边同除以 \(x^2\)（假设 \(x > 0\) 且 \(x \neq 1\)）：

\[ x (\ln x) u'' + (2\ln x - 1) u' = 0 \]

令 \(v = u'\)，方程化为一阶可分离变量微分方程：

\[ \begin{aligned} x (\ln x) v' + (2\ln x - 1) v &= 0\\ \end{aligned} \]

即：

\[ \frac{v'}{v} = -\frac{2\ln x - 1}{x \ln x} = -\frac{2}{x} + \frac{1}{x \ln x} \]

两边关于 \(x\) 积分：

\[ \ln v = -2\ln x + \ln(\ln x) = \ln\left(\frac{\ln x}{x^2}\right) \]

从而解得：

\[ v = \frac{\ln x}{x^2} \]

由于 \(v = u'\)，对 \(v\) 积分求出 \(u\)：

\[ \begin{aligned} u &= \int \frac{\ln x}{x^2} \mathrm{~d} x \\ &= \int \ln x \mathrm{~d} \left(-\frac{1}{x}\right) \\ &= -\frac{\ln x}{x} - \int \left(-\frac{1}{x}\right) \frac{1}{x} \mathrm{~d} x \\ &= -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} \\ &= -\frac{\ln x + 1}{x} \end{aligned} \]

因此，第二个线性无关的解为：

\[ y_2 = u \cdot x = -\frac{\ln x + 1}{x} \cdot x = -(\ln x + 1) \]

忽略常数倍，可以取 \(y_2 = \ln x + 1\)

因为 \(y_1 = x\) 与 \(y_2 = \ln x + 1\) 线性无关，所以该微分方程通解为：

\[ y = C_1 x + C_2 (\ln x + 1) \]

其中 \(C_1, C_2\) 为任意常数

方法 2

当然针对本题，如果注意不到 \(y=x\) 是一个特解也是可以做的，考虑换元 \(t=\ln x\)，\(\mathrm{~d} t=\frac{\mathrm{~d} x}{x}\)，下面开始做准备工作：

\[ \frac{\mathrm{~d} y }{\mathrm{~d} x } = \frac{\mathrm{~d} y }{\mathrm{~d} t }\cdot \frac{\mathrm{~d} t }{\mathrm{~d} x } = \frac{1}{x} \frac{\mathrm{~d} y }{\mathrm{~d} t } \]

且：

\[ \begin{aligned} \frac{\mathrm{~d} ^{2}y }{\mathrm{~d} x^{2} } &= \frac{\mathrm{~d} \left( \frac{1}{x} \frac{\mathrm{~d} y }{\mathrm{~d} t } \right) }{\mathrm{~d} x }\\ &= -\frac{1}{x^{2}} \frac{\mathrm{~d} y }{\mathrm{~d} t } + \frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{\mathrm{~d} y }{\mathrm{~d} t }/ \mathrm{~d} t }{\mathrm{~d} x / \mathrm{~d} t }\\ &= -\frac{1}{x^{2}} \frac{\mathrm{~d} y }{\mathrm{~d} t } + \frac{1}{x} \frac{\mathrm{~d} ^{2}y }{\mathrm{~d} t^{2} } \cdot\frac{1}{x}\\ &= \frac{1}{x^{2}}\left( \frac{\mathrm{~d} ^{2}y }{\mathrm{~d} t^{2} } - \frac{\mathrm{~d} y }{\mathrm{~d} t } \right) \end{aligned} \]

将上面两个微分式代入原微分方程，得：

\[ t\left( \frac{\mathrm{~d} ^{2}y }{\mathrm{~d} t^{2} } - \frac{\mathrm{~d} y }{\mathrm{~d} t } \right) - \frac{\mathrm{~d} y }{\mathrm{~d} t } + y = 0 \]

令 \(u= \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t}-y\)，代入得：

\[ t\cdot \frac{\mathrm{~d} u }{\mathrm{~d} t } - u = 0 \]

分离变量解得：\(u=C_{1}t\)，带回 \(u\) 的表达式得到：

\[ \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t}-y = C_{1}t \]

这是一个一阶线性微分方程，根据公式我们可以得到：

\[ \begin{aligned} y&=-C_{1}t-C_{1}+C_{2}\mathrm{e}^{ t }\\ &= -C_{1}(t+1)+C_{2}\mathrm{e}^{ t }\\ &= -C_{1}(\ln x+1)+C_{2}x \end{aligned} \]

可以将负号合并到 \(C_{1}\) 里面，从而得到和方法 1 形式一致的通解。

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