2025 年

Example

已知函数 \(f(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}e^{t^2}\sin t\,\mathrm{d}t,\ g(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}e^{t^2}\,\mathrm{d}t\cdot \sin^2 x\)，则 ?

(A) \(x=0\) 是 \(f(x)\) 的极值点，也是 \(g(x)\) 的极值点

(B) \(x=0\) 是 \(f(x)\) 的极值点，\((0,0)\) 是曲线 \(y=g(x)\) 的拐点

(C) \(x=0\) 是 \(f(x)\) 的极值点，\((0,0)\) 是曲线 \(y=f(x)\) 的拐点

(D) \((0,0)\) 是曲线 \(y=f(x)\) 的拐点，也是曲线 \(y=g(x)\) 的拐点

Example

已知级数 : \((1)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sin \frac{n^3\pi}{n^2+1}\); \((2)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}-\tan\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}\right)\)，则 ?

(A) \((1)\) 与 \((2)\) 均条件收敛

(B) \((1)\) 条件收敛，\((2)\) 绝对收敛

(C) \((1)\) 绝对收敛，\((2)\) 条件收敛

(D) \((1)\) 与 \((2)\) 均绝对收敛

Example

设函数 \(f(x)\) 在区间 \([0,+\infty)\) 上可导，则 ?

(A) 当 \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)\) 存在时，\(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f'(x)\) 存在

(B) 当 \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f'(x)\) 存在时，\(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)\) 存在

(C) 当 \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\displaystyle \int_{0}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t}{x}\) 存在时，\(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)\) 存在

(D) 当 \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)\) 存在时，\(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\displaystyle \int_{0}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t}{x}\) 存在

Example

设函数 \(f(x,y)\) 连续，则 \(\displaystyle \int_{-2}^{2}\mathrm{d}x\int_{4-x^2}^{4}f(x,y)\,\mathrm{d}y=\) ?

(A) \(\displaystyle \int_{0}^{4}\left[\int_{-2}^{-\sqrt{4-y}}f(x,y)\,\mathrm{d}x+\int_{\sqrt{4-y}}^{2}f(x,y)\,\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y\)

(B) \(\displaystyle \int_{0}^{4}\left[\int_{-2}^{\sqrt{4-y}}f(x,y)\,\mathrm{d}x+\int_{\sqrt{4-y}}^{2}f(x,y)\,\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y\)

(C) \(\displaystyle \int_{0}^{4}\left[\int_{-2}^{-\sqrt{4-y}}f(x,y)\,\mathrm{d}x+\int_{2}^{\sqrt{4-y}}f(x,y)\,\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y\)

(D) \(\displaystyle 2\int_{0}^{4}\mathrm{d}y\left[\int_{\sqrt{4-y}}^{2}f(x,y)\,\mathrm{d}x\right]\)

Example

二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3\) 的正惯性指数为 ?

(A) \(0\)

(B) \(1\)

(C) \(2\)

(D) \(3\)

Example

设 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4\) 是 \(n\) 维向量，\(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2\) 线性无关，\(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3\) 线性相关，且 \(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{0}\)，在空间直角坐标系 \(O-xyz\) 中，关于 \(x,y,z\) 的方程组 \(x\boldsymbol{\alpha}_1+y\boldsymbol{\alpha}_2+z\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\alpha}_4\) 的几何图形是 ?

(A) 过原点的一个平面

(B) 过原点的一条直线

(C) 不过原点的一个平面

(D) 不过原点的一条直线

Example

设 \(n\) 阶矩阵 \(A,B,C\) 满足 \(r(A)+r(B)+r(C)=r(ABC)+2n\)，给出下列四个结论 :

(1) \(r(ABC)+n=r(AB)+r(C);\)

(2) \(r(AB)+n=r(A)+r(B);\)

(3) \(r(A)=r(B)=r(C)=n;\)

(4) \(r(AB)=r(BC)=n,\)

其中正确的选项是 ?

(A) \((1)(2)\)

(B) \((1)(3)\)

(C) \((2)(4)\)

(D) \((3)(4)\)

Example

设二维随机变量 \((X,Y)\) 服从正态分布 \(N(0,0;1,1;\rho)\)，其中 \(\rho\in(-1,1)\)，若 \(a,b\) 为满足 \(a^2+b^2=1\) 的任意实数，则 \(D(aX+bY)\) 的最大值为 ?

(A) \(1\)

(B) \(2\)

(C) \(1+|\rho|\)

(D) \(1+\rho^2\)

Example

设 \(X_1,X_2,\cdots,X_{20}\) 是来自总体 \(B(1,0.1)\) 的简单随机样本，令 \(T=\displaystyle\sum_{i=1}^{20}X_i\)，利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得 \(P\{T\leqslant 1\}\approx\) ?

(A) \(\dfrac{1}{e^2}\)

(B) \(\dfrac{2}{e^2}\)

(C) \(\dfrac{3}{e^2}\)

(D) \(\dfrac{4}{e^2}\)

Example

设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 为来自正态总体 \(N(\mu,2)\) 的简单随机样本，记 \(\overline{X}=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n X_i\)，\(Z_\alpha\) 表示标准正态分布的上侧 \(\alpha\) 分位数，假设检验问题：\(H_0:\mu\leqslant 1,\ H_1:\mu>1\) 的显著性水平为 \(\alpha\) 的检验的拒绝域为 ?

(A) \(\left\{(x_1,x_2,\dots,x_n)\,\bigg|\,\overline{X}>1+\dfrac{2}{n}Z_\alpha\right\}\)

(B) \(\left\{(x_1,x_2,\dots,x_n)\,\bigg|\,\overline{X}>1+\dfrac{\sqrt{2}}{n}Z_\alpha\right\}\)

(C) \(\left\{(x_1,x_2,\dots,x_n)\,\bigg|\,\overline{X}>1+\dfrac{2}{\sqrt{n}}Z_\alpha\right\}\)

(D) \(\left\{(x_1,x_2,\dots,x_n)\,\bigg|\,\overline{X}>1+\sqrt{\dfrac{2}{n}}Z_\alpha\right\}\)

Example

\(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{x^x-1}{\ln x\cdot \ln(1-x)}=\) ?

Example

已知函数

的傅里叶级数为 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin n\pi x\)，\(S(x)\) 为 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin n\pi x\) 的和函数，则 \(S\left(-\dfrac{7}{2}\right)=\) ?

Example

已知函数 \(U(x,y,z)=xy^2z^3\)，向量 \(\boldsymbol{n}=(2,2,-1)\)，则 \(\displaystyle\left.\frac{\partial U}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{(1,1,1)}=\) ?

Example

已知有向曲线 \(L\) 是沿抛物线 \(y=1-x^2\) 从点 \((1,0)\) 到 \((-1,0)\) 的段，则曲线积分 \(\displaystyle\int_L (y+\cos x)\,\mathrm{d}x+(2x+\cos y)\,\mathrm{d}y\) ?

Example

设矩阵

若方程组 \(A^2\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\) 与 \(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\) 不同解，则 \(a-b=\) ?

Example

设 \(A,B\) 为两个不同随机事件，且相互独立，已知 \(P(A)=2P(B)\)，\(P(A\cup B)=\dfrac{5}{8}\)，则 \(A,B\) 中至少有一个发生的条件下，\(A,B\) 中恰好有一个发生的概率为 ?

Example

计算

Example

已知函数 \(f(u)\) 在区间 \((0,+\infty)\) 内具有二阶导数，记 \(g(x,y)=f\left(\dfrac{x}{y}\right)\)，若 \(g(x,y)\) 满足

且 \(g(x,x)=1,\ \left.\dfrac{\partial g}{\partial x}\right|_{(x,x)}=\dfrac{2}{x}\)，求 \(f(u)\)。

Example

设函数 \(f(x)\) 在区间 \((a,b)\) 内可导，证明：导函数 \(f'(x)\) 在 \((a,b)\) 内严格单调增加的充分必要条件是：对 \((a,b)\) 内任意的 \(x_1,x_2,x_3\)，当 \(x_1<x_2<x_3\) 时，

Example

设 \(\Sigma\) 是由直线 \(\begin{cases}x=0,\\y=0\end{cases}\) 绕直线 \(\begin{cases}x=t,\\y=t,\\z=t\end{cases}\)（\(t\) 为参数）旋转一周得到的曲面，\(\Sigma_1\) 是 \(\Sigma\) 介于平面 \(x+y+z=0\) 与 \(x+y+z=1\) 之间部分的外侧，计算曲面积分

Example

设矩阵

已知 \(1\) 是 \(A\) 的特征多项式的重根。

(1) 求 \(a\) 的值。

(2) 求所有满足 \(A\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta},\ A^2\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}+2\boldsymbol{\beta}\) 的非零列向量 \(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\)。

Example

投保人的损失事件发生时，保险公司赔付额 \(Y\) 与投保人的损失额 \(X\) 的关系为

设损失事件发生时，投保人的损失额 \(X\) 的概率密度为

(1) 求 \(P\{Y>0\}\) 及 \(E(Y)\)。

(2) 这种损失事件在一年内发生的次数记为 \(N\)，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为 \(M\)，假设 \(N\) 服从参数为 \(8\) 的泊松分布，在 \(N=n\ (n\geqslant 1)\) 的条件下，\(M\) 服从二项分布 \(B(n,P)\)，其中 \(P=P\{Y>0\}\)，求 \(M\) 的概率分布。