2022 年

Example

设 \(\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{\ln x}=1\)，则 ?

(A) \(f(1)=0\).

(B) \(\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)=0\).

(C) \(f'(1)=1\).

(D) \(\displaystyle \lim_{x\to 1}f'(x)=1\).

Example

设 \(f(u)\) 可导，\(\displaystyle z=xyf\left(\frac{y}{x}\right)\)，若 \(\displaystyle x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=y^2(\ln y-\ln x)\)，则 ?

(A) \(\displaystyle f(1)=\frac{1}{2},\ f'(1)=0\).

(B) \(\displaystyle f(1)=0,\ f'(1)=\frac{1}{2}\).

(C) \(\displaystyle f(1)=\frac{1}{2},\ f'(1)=1\).

(D) \(\displaystyle f(1)=0,\ f'(1)=1\).

Example

设数列 \(\{x_n\}\) 满足 \(\displaystyle -\frac{\pi}{2}\leqslant x_n\leqslant \frac{\pi}{2}\)，则 ?

(A) 若 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\cos(\sin x_n)\) 存在，则 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n\) 存在 .

(B) 若 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sin(\cos x_n)\) 存在，则 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n\) 存在 .

(C) 若 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\cos(\sin x_n)\) 存在，则 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sin x_n\) 存在，但 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n\) 不一定存在 .

(D) 若 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sin(\cos x_n)\) 存在，则 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\cos x_n\) 存在，但 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n\) 不一定存在 .

Example

若 \(\displaystyle I_1=\int_{0}^{1}\frac{x}{2(1+\cos x)}\mathrm{d}x,\ I_2=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{1+\cos x}\mathrm{d}x,\ I_3=\int_{0}^{1}\frac{2x}{1+\sin x}\mathrm{d}x\)，则 ?

(A) \(I_1<I_2<I_3\).

(B) \(I_2<I_1<I_3\).

(C) \(I_1<I_3<I_2\).

(D) \(I_3<I_2<I_1\).

Example

下列 4 个条件中，3 阶矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 可相似对角化的一个充分非必要条件是 ?

(A) \(\boldsymbol{A}\) 有 3 个不同的特征值 .

(B) \(\boldsymbol{A}\) 有 3 个线性无关的特征向量 .

(C) \(\boldsymbol{A}\) 有 3 个两两线性无关的特征向量 .

(D) \(\boldsymbol{A}\) 的属于不同特征值的特征向量相互正交 .

Example

设 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\) 为 \(n\) 阶矩阵，\(\boldsymbol{E}\) 为 \(n\) 阶单位矩阵，若方程组 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\) 与 \(\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\) 同解，则 ?

(A) \(\begin{pmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{O}\\ \boldsymbol{E}&\boldsymbol{B}\end{pmatrix}\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}\) 只有零解 .

(B) \(\begin{pmatrix}\boldsymbol{E}&\boldsymbol{A}\\ \boldsymbol{O}&\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\end{pmatrix}\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}\) 只有零解 .

(C) \(\begin{pmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{B}\\ \boldsymbol{O}&\boldsymbol{B}\end{pmatrix}\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}\) 与 \(\begin{pmatrix}\boldsymbol{B}&\boldsymbol{A}\\ \boldsymbol{O}&\boldsymbol{A}\end{pmatrix}\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}\) 同解 .

(D) \(\begin{pmatrix}\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}&\boldsymbol{B}\\ \boldsymbol{O}&\boldsymbol{A}\end{pmatrix}\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}\) 与 \(\begin{pmatrix}\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{A}\\ \boldsymbol{O}&\boldsymbol{B}\end{pmatrix}\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}\) 同解 .

Example

设 \(\boldsymbol{\alpha}_1=(\lambda,1,1)^\mathrm{T},\boldsymbol{\alpha}_2=(1,\lambda,1)^\mathrm{T},\boldsymbol{\alpha}_3=(1,1,\lambda)^\mathrm{T},\boldsymbol{\alpha}_4=(1,\lambda,\lambda^2)^\mathrm{T}\)，若 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3\) 与 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_4\) 等价，则 \(\lambda\) 的取值范围是 ?

(A) \(\{0,1\}\).

(B) \(\{\lambda\mid \lambda\in\mathbb{R},\lambda\neq -2\}\).

(C) \(\{\lambda\mid \lambda\in\mathbb{R},\lambda\neq -1,\lambda\neq -2\}\).

(D) \(\{\lambda\mid \lambda\in\mathbb{R},\lambda\neq -1\}\).

Example

设随机变量 \(X\) 服从区间 \((0,3)\) 上的均匀分布，随机变量 \(Y\) 服从参数为 \(2\) 的泊松分布，且 \(X\) 与 \(Y\) 的协方差为 \(-1\)，则 \(D(2X-Y+1)=\) ?

(A) \(1\).

(B) \(5\).

(C) \(9\).

(D) \(12\).

Example

设随机变量 \(X_1,X_2,\dots,X_n\) 独立同分布，且 \(X_1\) 的 4 阶矩存在，\(E(X_1^k)=\mu_k\ (k=1,2,3,4)\)，则根据切比雪夫不等式，对任意 \(\varepsilon>0\)，都有 \(\displaystyle P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2-\mu_2\right|\geqslant \varepsilon\right\}\leqslant\) ?

(A) \(\displaystyle \frac{\mu_4-\mu_2^2}{n\varepsilon^2}\).

(B) \(\displaystyle \frac{\mu_4-\mu_2^2}{\sqrt{n}\varepsilon^2}\).

(C) \(\displaystyle \frac{\mu_2-\mu_1^2}{n\varepsilon^2}\).

(D) \(\displaystyle \frac{\mu_2-\mu_1^2}{\sqrt{n}\varepsilon^2}\).

Example

设随机变量 \(X \sim N(0,1)\)，若在 \(X=x\) 的条件下，随机变量 \(Y \sim N(x,1)\)，则 \(X\) 与 \(Y\) 的相关系数为 ?

(A) \(\dfrac{1}{4}\).

(B) \(\dfrac{1}{2}\).

(C) \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).

(D) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Example

函数 \(f(x,y)=x^2+2y^2\) 在点 \((0,1)\) 处的最大方向导数为 ?

Example

\(\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}^2}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=\) ?

Example

当 \(x\geqslant 0,y\geqslant 0\) 时，\(x^2+y^2\leqslant k\mathrm{e}^{x+y}\) 恒成立，则 \(k\) 的取值范围是 ?

Example

已知级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}\mathrm{e}^{-nx}\) 的收敛域为 \((a,+\infty)\)，则 \(a=\) ?

Example

已知矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 和 \(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\) 可逆，其中 \(\boldsymbol{E}\) 为单位矩阵，若矩阵 \(\boldsymbol{B}\) 满足

则 \(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A}=\) ?

Example

设 \(A,B,C\) 为随机事件，且 \(A\) 与 \(B\) 互不相容，\(A\) 与 \(C\) 互不相容，\(B\) 与 \(C\) 相互独立，\(P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac{1}{3}\)，则 \(P(B\cup C\mid A\cup B\cup C)=\) ?

Example

设函数 \(y(x)\) 是微分方程 \(y'+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}y=2+\sqrt{x}\) 的满足条件 \(y(1)=3\) 的解，求曲线 \(y=y(x)\) 的渐近线 .

Example

已知平面区域 \(D=\{(x,y)\mid y-2\leqslant x\leqslant \sqrt{4-y^2},\ 0\leqslant y\leqslant 2\}\)，计算

Example

已知曲线 \(L\) 是曲面 \(\Sigma:4x^2+y^2+z^2=1,\ x\geqslant 0,\ y\geqslant 0,\ z\geqslant 0\) 的边界，曲面 \(\Sigma\) 方向朝上，曲线 \(L\) 的方向和曲面 \(\Sigma\) 的方向符合右手法则，计算

Example

设函数 \(f(x)\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上有二阶连续导数，证明：\(f''(x)\geqslant 0\) 的充分必要条件是对任意不同的实数 \(a,b\)，都有

成立。

Example

设二次型 \(\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}ijx_ix_j\).

(1) 写出 \(f(x_1,x_2,x_3)\) 对应的矩阵；

(2) 求正交变换 \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{y}\) 将 \(f(x_1,x_2,x_3)\) 化为标准形；

(3) 求 \(f(x_1,x_2,x_3)=0\) 的解。

Example

设 \(X_1,X_2,\dots,X_n\) 为来自均值为 \(\theta\) 的指数分布总体的简单随机样本，\(Y_1,Y_2,\dots,Y_m\) 为来自均值为 \(2\theta\) 的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中 \(\theta(\theta>0)\) 是未知参数。利用样本 \(X_1,X_2,\dots,X_n,Y_1,Y_2,\dots,Y_m\)，求 \(\theta\) 的最大似然估计量 \(\hat{\theta}\)，并求 \(D(\hat{\theta})\).