2011 年
第 1 题 ¶
Example
曲线 \(y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4\) 的拐点是 ?
(A) \((1,0)\).
(B) \((2,0)\).
(C) \((3,0)\).
(D) \((4,0)\).
中学题，穿针引线画图就可以判断拐点。选 C。
拓展一下，如果题目要求的是极值点和拐点的个数，常用方法是使用罗尔定理解决，当然是有结论的，没必要记忆：
极值点和拐点个数结论
设多项式函数 \(f(x)=(x-a_{1})^{n_{1}}(x-a_{2})^{n_{2}}\dots(x-a_{k})^{n_{k}}\)，其中 \(n_{i}\) 为正整数，\(a_{i}\) 为实数且两两不相等；记 \(k_{1}\) 为 \(n_{i}=1\) 的个数；\(k_{2}\) 为 \(n_{i}>1\) 且为偶数的个数；\(k_{3}\) 为 \(n_{i}>1\) 且为奇数的个数；则 \(f(x)\) 的极值点个数为 \(k_{1}+2k_{2}+k_{3}-1\)；拐点个数为 \(k_{1}+2k_{2}+3k_{3}-2\).
对于本题，极值点个数为 \(5\)；拐点个数为 \(6\).
第 2 题 ¶
Example
设数列 \(\{a_n\}\) 单调减少 , \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0,\ S_n=\sum_{k=1}^n a_k\ (n=1,2,\cdots)\) 无界 , 则幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x-1)^n\) 的收敛域为 ?
(A) \((-1,1]\).
(B) \([-1,1)\).
(C) \([0,2)\).
(D) \((0,2]\).
部分和无界，从而级数发散，平移得到待求级数在 \(x=2\) 处发散；再根据数列递减且趋于零，得到待求级数在 \(x=0\) 处收敛，从而得到收敛域，选 C。
第 3 题 ¶
Example
设函数 \(f(x)\) 具有二阶连续导数 , 且 \(f(x)>0,\ f'(0)=0\), 则函数 \(z=f(x)\ln f(y)\) 在点 \((0,0)\) 处取得极小值的一个充分条件是 ?
(A) \(f(0)>1,\ f''(0)>0\).
(B) \(f(0)>1,\ f''(0)<0\).
(C) \(f(0)<1,\ f''(0)>0\).
(D) \(f(0)<1,\ f''(0)<0\).
求出 \(AC-B^{2}\)，再根据选项依次验证哪一个能使之大于 \(0\) 且 \(A>0\) 即可。选 A。
第 4 题 ¶
Example
设 \(\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln(\sin x)\mathrm{d}x,\ J=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln(\cot x)\mathrm{d}x,\ K=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln(\cos x)\mathrm{d}x\), 则 \(I,J,K\) 的大小关系为 ?
(A) \(I<J<K\).
(B) \(I<K<J\).
(C) \(J<I<K\).
(D) \(K<J<I\).
送分题。选 B。
第 5 题 ¶
Example
设 \(A\) 为 \(3\) 阶矩阵 , 将 \(A\) 的第 \(2\) 列加到第 \(1\) 列得矩阵 \(B\), 再交换 \(B\) 的第 \(2\) 行与第 \(3\) 行得单位矩阵 . 记
则 \(A=\) ?
(A) \(P_1P_2\).
(B) \(P_1^{-1}P_2\).
(C) \(P_2P_1\).
(D) \(P_2P_1^{-1}\).
选 D。考察三类初等矩阵，具体性质可以看我对 1997 年数一第 20 题的讲解。
第 6 题 ¶
Example
设 \(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)\) 是 \(4\) 阶矩阵 , \(A^*\) 为 \(A\) 的伴随矩阵 . 若 \((1,0,1,0)^\mathrm{T}\) 是方程组 \(Ax=0\) 的一个基础解系 , 则 \(A^*x=0\) 的基础解系可为 ?
(A) \(\alpha_1,\alpha_3\).
(B) \(\alpha_1,\alpha_2\).
(C) \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\).
(D) \(\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\).
选 D。考察伴随矩阵的秩：
第 7 题 ¶
Example
设 \(F_1(x)\) 与 \(F_2(x)\) 为两个分布函数 , 其相应的概率密度 \(f_1(x)\) 与 \(f_2(x)\) 是连续函数 , 则必为概率密度的是 ?
(A) \(f_1(x)f_2(x)\).
(B) \(2f_2(x)F_1(x)\).
(C) \(f_1(x)F_2(x)\).
(D) \(f_1(x)F_2(x)+f_2(x)F_1(x)\).
选 D。结论同 2002 数一第 10 题，这里不再赘述；D 选项 02 年未考察，具体过程如图：
第 8 题 ¶
Example
设随机变量 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立 , 且 \(E(X)\) 与 \(E(Y)\) 存在 , 记 \(U=\max\{X,Y\},\ V=\min\{X,Y\}\), 则 \(E(UV)=\) ?
(A) \(E(U)\cdot E(V)\).
(B) \(E(X)\cdot E(Y)\).
(C) \(E(U)\cdot E(Y)\).
(D) \(E(X)\cdot E(V)\).
送分题。
第 9 题 ¶
Example
曲线 \(y=\displaystyle\int_{0}^{x}\tan t\,\mathrm{d}t\ \left(0\leqslant x\leqslant \frac{\pi}{4}\right)\) 的弧长 \(s=\) ?
套公式，注意 \(\sec x\) 的积分公式。
第 10 题 ¶
Example
微分方程 \(y'+y=\mathrm{e}^{-x}\cos x\) 满足条件 \(y(0)=0\) 的解为 \(y=\underline{\qquad\qquad}\).
套公式。
第 11 题 ¶
Example
设函数 \(F(x,y)=\displaystyle\int_{0}^{xy}\frac{\sin t}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\)，则 \(\displaystyle\left.\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}\right|_{\substack{x=0\\y=2}}=\) ?
简单计算题，第二次对 \(x\) 求导时可以提前代入 \(y\) 的值。
第 12 题 ¶
Example
设 \(L\) 是柱面 \(x^2+y^2=1\) 与平面 \(z=x+y\) 的交线，从 \(z\) 轴正向往 \(z\) 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 \(\displaystyle\oint_L xz\,\mathrm{d}x+x\,\mathrm{d}y+\frac{y^2}{2}\,\mathrm{d}z=\) ?
不方便降维，所以直接使用斯托克斯公式，注意对称性。
第 13 题 ¶
Example
若二次曲面的方程 \(x^2+3y^2+z^2+2axy+2xz+2yz=4\) 经正交变换化为 \(y_1^2+4z_1^2=4\)，则 \(a=\) ?
根据标准型可知二次型对应矩阵不满秩，送分。
第 14 题 ¶
Example
设二维随机变量 \((X,Y)\) 服从正态分布 \(N(\mu,\mu;\sigma^2,\sigma^2;0)\)，则 \(E(XY^2)=\) ?
二维正态分布满足：独立 \(\iff\) 不相关。
第 15 题 ¶
Example
求极限 \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\left[\frac{\ln(1+x)}{x}\right]^{\frac{1}{\mathrm{e}^x-1}}.\)
\(1^{\infty}\) 型套路题。
第 16 题 ¶
Example
设函数 \(z=f(xy,yg(x))\)，其中函数 \(f\) 具有二阶连续偏导数，函数 \(g(x)\) 可导，且在 \(x=1\) 处取得极值 \(g(1)=1\). 求 \(\displaystyle \left.\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\right|_{\substack{x=1\\y=1}}.\)
根据 \(\mathrm{Fermat}\) 引理得到 \(g'(1)=0\)，后续就是纯计算，第二次求导（对 \(y\) 求导）时可以先代入 \(x\) 的值以简化运算。
第 17 题 ¶
Example
求方程 \(k\arctan x - x = 0\) 不同实根的个数，其中 \(k\) 为参数 .
高中题。
第 18 题 ¶
Example
(1) 证明：对任意的正整数 \(n\)，都有 \(\displaystyle \frac{1}{n+1}<\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n}\) 成立；
(2) 设 \(\displaystyle a_n=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\ (n=1,2,\cdots)\)，证明数列 \(\{a_n\}\) 收敛 .
第一问，高中题，构造函数求导或者拉格朗日中值。
第二问，单调有界准则，或者利用级数与数列的关系，即 \(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } x_{n}\) 存在 \(\iff\) \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(x_{n+1}-x_{n})\) 收敛，第一种方法过程见下图，这里简单说一下第二种方法：
而 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)=1\) 收敛，所以原级数收敛，即 \(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }a_{n}\) 存在，得证。
第 19 题 ¶
Example
已知函数 \(f(x,y)\) 具有二阶连续偏导数，且 \(f(1,y)=0,\ f(x,1)=0\)，\(\displaystyle \iint_D f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = a\)，其中 \(D=\{(x,y)\mid 0\leqslant x\leqslant 1,\ 0\leqslant y\leqslant 1\}\)，计算二重积分 \(\displaystyle I=\iint_D xy f''_{xy}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.\)
经典题，使用分部积分降低导数的阶即可。
第 20 题 ¶
Example
设向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,1)^T,\ \boldsymbol{\alpha}_2=(0,1,1)^T,\ \boldsymbol{\alpha}_3=(1,3,5)^T\) 不能由向量组 \(\boldsymbol{\beta}_1=(1,1,1)^T,\ \boldsymbol{\beta}_2=(1,2,3)^T,\ \boldsymbol{\beta}_3=(3,4,a)^T\) 线性表示 .
(1) 求 \(a\) 的值；
(2) 将 \(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3\) 用 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3\) 线性表示 .
第一问，根据向量组 \(\beta_{i}\) 不满秩即可得到结果。
第二问，送分题。
第 21 题 ¶
Example
设 \(A\) 为 \(3\) 阶实对称矩阵，\(A\) 的秩为 \(2\)，且
(1) 求 \(A\) 的所有特征值与特征向量；
(2) 求矩阵 \(A\).
第一问，根据不满秩可知有 \(0\) 特征值，再根据题目给出的等式得到另外两个特征值和特征向量。其中 \(0\) 特征值对应的特征向量根据实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交即可得出。
第二问，谱分解秒了。不会谱分解的看我 07 年数一解析即可 .
第 22 题 ¶
Example
设随机变量 \(X\) 与 \(Y\) 的概率分布分别为
且 \(P\{X^2=Y^2\}=1\).
(1) 求二维随机变量 \((X,Y)\) 的概率分布；
(2) 求 \(Z=XY\) 的概率分布；
(3) 求 \(X\) 与 \(Y\) 的相关系数 \(\rho_{XY}\).
三问都很基础，不多赘述。
第 23 题 ¶
Example
设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 为来自正态总体 \(N(\mu_0,\sigma^2)\) 的简单随机样本，其中 \(\mu_0\) 已知，\(\sigma^2>0\) 未知，\(\overline{X}\) 和 \(S^2\) 分别表示样本均值和样本方差 .
(1) 求参数 \(\sigma^2\) 的最大似然估计 \(\widehat{\sigma^2}\)；
(2) 计算 \(E\left(\widehat{\sigma^2}\right)\) 和 \(D\left(\widehat{\sigma^2}\right)\).
第一问，简单的极大似然估计问题。
第二问，根据 \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{X_{i}-\mu_{0}}{\sigma} \right)^{2}\sim \chi^{2}(n)\) 结合卡方分布的期望和方差即可。
以上就是对于 2011 年数一真题的全部解答，中规中矩的一套真题，首先第一题及其拓展版本都需要熟练掌握，很经典的模型；第 6 题首次考察伴随矩阵秩的性质，这一考点在后续真题中我们会再一次看到；17 和 18 的第一问都是中学题；通过第 19 题再次体会分部积分的重要作用；21 题第二问再次考察谱分解，值得注意。
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