竟然是“高中题”
本节的题目非常经典，偷偷提示一下，下一小节中最核心的一步就是本节介绍的内容哦！
下面这道取整积分问题还涉及到著名的巴塞尔问题，一起来看看吧！
例题 ¶
Example
求解：
\[
\int_0^1 x\left ( \frac1x - \left[ \frac{1}{x}\right] \right ) \mathrm{d}x
\]
其中 \([x]\) 表示不超过 \(x\) 的最大整数。
解：首先我们可以根据取整函数的性质将原积分表示为和取小数部分函数有关的积分：
\[
I=\int_0^1 x \left\{ \frac{1}{x} \right\} \mathrm{d}x
\]
受上一小节的启发，我们可以使用倒代换来处理这个积分。
令 \(t = \dfrac{1}{x}\)，则 \(x = \dfrac{1}{t}\)，\(\mathrm{d}x = -\dfrac{1}{t^2}\mathrm{d}t\)。
- 当 \(x \to 0^+\) 时，\(t \to +\infty\)；
- 当 \(x = 1\) 时，\(t = 1\)。
将它们代入积分中并利用负号颠倒积分限：
\[
I = \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{t} \cdot \{t\} \cdot \frac{1}{t^2} \mathrm{d}t = \int_{1}^{+\infty} \frac{\{t\}}{t^3} \mathrm{d}t
\]
现在积分区间是 \([1, +\infty)\)，我们根据正整数自然地将其拆散：
当 \(t \in [n, n+1)\) 时（\(n \in \mathbb{N}^*\)
原积分转化为无穷级数求和：
\[
I = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{n}^{n+1} \frac{t - n}{t^3} \mathrm{d}t = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{n}^{n+1} \left( \frac{1}{t^2} - \frac{n}{t^3} \right) \mathrm{d}t
\]
直接对每一项计算定积分：
\[
\begin{aligned}
\int_{n}^{n+1} \left( t^{-2} - n \cdot t^{-3} \right) \mathrm{d}t &= \left[ -\frac{1}{t} + \frac{n}{2t^2} \right]_{n}^{n+1}\\
&= \left( -\frac{1}{n+1} + \frac{n}{2(n+1)^2} \right) - \left( -\frac{1}{n} + \frac{n}{2n^2} \right)\\
&= \frac{1}{2n} - \frac{n+2}{2(n+1)^2}\\
&= \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{2n(n+1)^2} \\
&= \frac{1}{2n(n+1)^2}
\end{aligned}
\]
接下来就是高中问题了，对于上面这个数列求和，显然需要考虑裂项：
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2n(n+1)^2} &= \frac{1}{2} \left[ \frac{(n+1) - n}{n(n+1)^2} \right] \\
&= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)^2} \right] \\
&= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{(n+1)^2} \right]
\end{aligned}
\]
所以原积分转化为下面这个无穷级数求和问题：
\[
I = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) - \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^2}
\]
第一部分是一个简单的邻项相消：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = 1
\]
第二部分是著名的巴塞尔问题的变体：
\[
\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^2} &= \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots \\
&= \left( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \right) - 1 \\
&= \frac{\pi^2}{6} - 1
\end{aligned}
\]
把这两部分带回原式得：
\[
\begin{aligned}
I &= \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{\pi^2}{6} - 1 \right) \\
&= \frac{1}{2} - \frac{\pi^2}{12} + \frac{1}{2} \\
&= 1 - \frac{\pi^2}{12}
\end{aligned}
\]
Tip
简直绝了！虽然每一步涉及到的知识点都不难，但是将它们组合在一起却如此惊艳！通过倒代换化简便于我们拆分积分区间，最终转换成一个高中数列求和的裂项考点，循序渐进，考点清晰！
多说一句，本题不通过倒代换也是可以解决的，只不过如果不倒代换，拆分积分区间后得到的上下限都是分式，出错率更高！而通过倒代换就不需要去算一堆麻烦的分式积分限，可以大幅度简化计算，减小出错概率！
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