Cauchy-Schwarz 不等式
孔乙己曾谈及“茴字有四种写法”，与之相仿，柯西–施瓦茨积分不等式（Cauchy-Schwarz inequality）也存在四种经典证法：定积分性质法、判别式法、变上限积分法与二重积分法。下面就分享在考试与数学竞赛中常用的后三种证法。
定理
首先给出柯西 - 施瓦茨积分不等式：
Cauchy-Schwarz inequality
\[
\left( \int^{b}_{a} f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant \int^{b}_{a} f^{2}\left( x\right) \mathrm{d} x\int^{b}_{a} g^{2}\left( x\right) \mathrm{d} x
\]
其中 \(f\left( x\right)\)， \(g\left( x\right)\) 均为区间 \(\left[a,b\right]\) 上的连续函数。
方法 1：重积分法
记区域 \(D: a\leqslant x\leqslant b,\ a\leqslant y\leqslant b\)，则
\[
\begin{aligned} \left( \int_a^b f(x)g(x)\,\mathrm{d}x \right)^2 &= \int_a^b f(x)g(x)\,\mathrm{d}x \cdot \int_a^b f(y)g(y)\,\mathrm{d}y \\ &= \iint\limits_D f(x)g(x)f(y)g(y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &= \iint\limits_D \big[f(x)g(y)\big]\big[f(y)g(x)\big]\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y. \end{aligned}
\]
由基本不等式 \(ab \leqslant \dfrac{a^2+b^2}{2}\)，得
\[
\big[f(x)g(y)\big]\big[f(y)g(x)\big] \leqslant \frac12\Big[f^2(x)g^2(y)+f^2(y)g^2(x)\Big].
\]
代入上式并积分：
\[
\begin{aligned} \left( \int_a^b f(x)g(x)\,\mathrm{d}x \right)^2 &\leqslant \iint\limits_D \frac12\Big[f^2(x)g^2(y)+f^2(y)g^2(x)\Big]\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &= \frac12\iint\limits_D f^2(x)g^2(y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y + \frac12\iint\limits_D f^2(y)g^2(x)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &= \frac12\left( \int_a^b f^2\,\mathrm{d}x \int_a^b g^2\,\mathrm{d}y \right) + \frac12\left( \int_a^b f^2\,\mathrm{d}y \int_a^b g^2\,\mathrm{d}x \right) \\ &= \left( \int_a^b f^2(x)\,\mathrm{d}x \right) \left( \int_a^b g^2(x)\,\mathrm{d}x \right). \end{aligned}
\]
不等式得证。
下面分析何时取等：
不等式取等号，当且仅当证明中每一步不等式都取等号。 唯一的不等式来自均值不等式，下面分两种情况讨论：
- 情况 1：存在某个 \(y_0\) 使 \(g(y_0)\neq0\) ，此时对任意 \(x\in[a,b]\) ，有
\[
f(x)g(y_0)=f(y_0)g(x) \implies f(x)=\frac{f(y_0)}{g(y_0)}g(x).
\]
令常数 \(k=\dfrac{f(y_0)}{g(y_0)}\) ，则 \(f(x)=k\,g(x),\quad\forall x\in[a,b].\)
- 情况 2：对所有 \(y\in[a,b]\) ，都有 \(g(y)=0\) ，此时 \(g(x)\equiv0\) ，不等式两边均为 \(0\) ，等号成立。
综上：Cauchy-Schwarz 不等式等号成立 \(\iff\) 存在常数 \(k\), 使得 \(f(x)=k\,g(x)\) 在 \([a,b]\) 上几乎处处成立 .
方法 2：判别式法
类比高中柯西不等式的常见证明方式，我们可以构造一个非负二次函数，利用其判别式 \(\leqslant 0\) 推导出不等式 .
构造关于参数 \(t\) 的非负积分： \(F(t)=\displaystyle\int_{a}^{b}\big(tf(x)-g(x)\big)^2\mathrm{d}x\)
显然对任意实数 \(t\)，有 \(\big(tf(x)-g(x)\big)^2\geqslant 0\) ，因此 \(F(t)\geqslant 0,\quad\forall\,t\in\mathbb R.\)
将积分展开：
\[
\begin{aligned} F(t) &=\int_{a}^{b}\Big[t^2f^2(x)-2tf(x)g(x)+g^2(x)\Big]\mathrm{d}x \\ &=\left(\int_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{d}x\right)t^2 -2\left(\int_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x\right)t +\int_{a}^{b}g^2(x)\mathrm{d}x. \end{aligned}
\]
记
\[
A=\int_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{d}x,\quad B=\int_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x,\quad C=\int_{a}^{b}g^2(x)\mathrm{d}x,
\]
则
\[
F(t)=At^2-2Bt+C \geqslant 0,\quad \forall t\in\mathbb R.
\]
\[
\left(\int_{a}^{b} f(x)g(x)\mathrm{d}x\right)^2 \leqslant \left(\int_{a}^{b} f^2(x)\mathrm{d}x\right) \left(\int_{a}^{b} g^2(x)\mathrm{d}x\right).
\]
不等式取等 \(\iff \Delta=0\iff\) 二次方程 \(F(t)=0\) 存在唯一实根 \(t_0\)
\[
\int_{a}^{b}\big(t_0 f(x)-g(x)\big)^2\mathrm{d}x=0
\]
由非负可积函数积分零的性质得
\[
t_0 f(x)-g(x)\equiv 0,\quad x\in[a,b]
\]
即存在常数 \(t_0\)，使得 \(g(x)=t_0 f(x)\) 或 \(f(x)\equiv 0,\ g(x)\equiv 0.\)
方法 3：变限积分法
构造辅助函数：
\[
F(t)=\int_{a}^{t} f^2(x)\mathrm{d}x\cdot \int_{a}^{t} g^2(x)\mathrm{d}x -\left(\int_{a}^{t} f(x)g(x)\mathrm{d}x\right)^2,\quad t\geqslant a
\]
显然初值：\(F(a)=0\)
对 \(t\) 求导：
\[
\begin{aligned} F'(t) &= g^2(t)\int_{a}^{t} f^2(x)\mathrm{d}x + f^2(t)\int_{a}^{t} g^2(x)\mathrm{d}x - 2f(t)g(t)\int_{a}^{t} f(x)g(x)\mathrm{d}x \\ &= \int_{a}^{t} \big[f(x)g(t)\big]^2 \mathrm{d}x - \int_{a}^{t} 2f(x)g(t)f(t)g(x)\mathrm{d}x + \int_{a}^{t} \big[f(t)g(x)\big]^2 \mathrm{d}x \\ &= \int_{a}^{t} \Big[f^2(x)g^2(t)-2f(x)g(t)f(t)g(x)+f^2(t)g^2(x)\Big]\mathrm{d}x \\ &= \int_{a}^{t} \big[f(x)g(t)-f(t)g(x)\big]^2 \mathrm{d}x \geqslant 0 \end{aligned}
\]
因此 \(F(t)\) 在 \([a,b]\) 上单调递增，故：\(F(b)\geqslant F(a)=0\) 代入得：
\[
\int_{a}^{b} f^2(x)\mathrm{d}x\int_{a}^{b} g^2(x)\mathrm{d}x -\left(\int_{a}^{b} f(x)g(x)\mathrm{d}x\right)^2 \geqslant 0
\]
得证，下面分析取等条件：
不等式取等 \(\iff F(b)=0 \iff F(t)\equiv 0,\forall t\in[a,b] \iff F'(t)\equiv 0\)
\[
\int_{a}^{t} \big[f(x)g(t)-f(t)g(x)\big]^2 \mathrm{d}x \equiv 0
\]
由非负连续函数积分为 0 则函数恒为 0： \(f(x)g(t)-f(t)g(x)=0,\quad \forall x,t\in[a,b]\)
整理得：存在常数 \(k\)，使得 \(f(x)\equiv k\,g(x)\) 或 \(g(x)\equiv 0.\)
应用
例 1
Example
设 \(f(x):[0,1]\to\mathbb R\)，满足 \(\displaystyle\int_0^1 xf(x)\mathrm{d}x=0\)，求证：
\[ \displaystyle \int_0^1 f^2(x)\mathrm{d}x \geqslant 4\left(\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x\right)^2. \]
由 Cauchy-Schwarz 不等式，结合条件 \(\displaystyle\int_0^1 xf(x)\mathrm{d}x=0\)，有
\[
\begin{aligned} \left(\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x\right)^2 &=\left(\int_0^1 \left(1-\frac32 x\right)f(x)\mathrm{d}x\right)^2 \\ &\leqslant \int_0^1 \left(1-\frac32 x\right)^2\mathrm{d}x \cdot \int_0^1 f^2(x)\mathrm{d}x \\ &=\frac14 \int_0^1 f^2(x)\mathrm{d}x, \end{aligned}
\]
整理即得 \(\displaystyle \int_0^1 f^2(x)\mathrm{d}x \geqslant 4\left(\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x\right)^2.\) 证毕。
例 2
Example
若 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续且 \(\displaystyle \int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x = 1\)，试分别说明定积分 \(I = \displaystyle\int_0^1 (x+1)f^2(x)\,\mathrm{d}x\) 是否存在最小值与最大值？如存在，请求出 \(f(x)\) 及 \(I\) 的值；如不存在，请说明理由。
本题是江苏省 2026 年第二十三届高数竞赛的第七道大题
- 最小值分析（Cauchy-Schwarz inequality）
对函数 \(\sqrt{x+1}f(x) \text{和} \dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\) 应用柯西 - 施瓦茨不等式：
\[
\left( \int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x \right)^2 = \left( \int_0^1 \sqrt{x+1}f(x)\cdot\frac{1}{\sqrt{x+1}}\,\mathrm{d}x \right)^2 \leqslant \left( \int_0^1 (x+1)f^2(x)\,\mathrm{d}x \right)\left( \int_0^1 \frac{1}{x+1}\,\mathrm{d}x \right)
\]
由题设 \(\displaystyle \int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x=1\)，且 \(\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{x+1}\,\mathrm{d}x = \ln(x+1)\bigg|_0^1 = \ln 2\)
代入不等式得： \(1^2 \leqslant I \cdot \ln 2\) 因此 \(I \geqslant \dfrac{1}{\ln 2}\)
等号成立当且仅当 \(\sqrt{x+1}f(x)\) 与 \(\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\) 成比例，即存在常数 \(k\)，使得
\[
\sqrt{x+1}f(x) = k \cdot \frac{1}{\sqrt{x+1}} \implies f(x) = \frac{k}{x+1}
\]
结合约束条件 \(\displaystyle \int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x=1\)：
\[
\int_0^1 \frac{k}{x+1}\,\mathrm{d}x = k\ln 2 = 1 \implies k=\frac{1}{\ln 2}
\]
故取到最小值时：
\[
f(x) = \frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{1}{x+1}, \quad I_{\min} = \frac{1}{\ln 2} 2
\]
取函数序列 \(f_n(x)=(n+1)x^n\)，显然 \(f_n(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续，且满足
\[
\int_0^1 f_n(x)\,\mathrm{d}x = (n+1)\int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x = (n+1)\cdot\frac{1}{n+1}=1
\]
计算对应的 \(I_n\)：
\[
I_n = \int_0^1 (x+1)f_n^2(x)\,\mathrm{d}x = (n+1)^2\int_0^1 (x+1)x^{2n}\,\mathrm{d}x
\]
展开积分：
\[
\int_0^1 (x+1)x^{2n}\,\mathrm{d}x = \int_0^1 x^{2n+1}\,\mathrm{d}x + \int_0^1 x^{2n}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2n+2} + \frac{1}{2n+1}
\]
因此 \(I_n = (n+1)^2\left(\dfrac{1}{2n+2}+\dfrac{1}{2n+1}\right)\)
当 \(n\to\infty\) 时， \(I_n \sim (n+1)^2\left(\dfrac{1}{2(n+1)}+\dfrac{1}{2n}\right) \sim \dfrac{n}{2}+\dfrac{n}{2} \to +\infty\)
这说明 \(I\) 可以任意大，故最大值不存在。
- 最小值存在，为 \(\displaystyle \frac{1}{\ln 2}\)，取到最小值时的函数为 \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{(x+1)\ln 2}\)；
- 最大值不存在。
习题
直接应用
Q1
Question
设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上可积，证明：
\[
\left( \int_{0}^{1} xf(x) \mathrm{~d} x \right)^{2}\leqslant \frac{1}{3}\int_{0}^{1}f^{2}(x) \mathrm{~d} x
\]
Q2
Question
已知 \(f(x)\geqslant 0\)，且在 \([a,b]\) 上连续，又 \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x=1\)，\(k\) 为任意实数，证明：
\[
\left( \int_{a}^{b} f(x)\cos kx \mathrm{~d} x \right)^{2}+\left( \int_{a}^{b} f(x)\sin kx \mathrm{~d} x \right)^{2}\leqslant 1
\]
Q3
Question
设函数 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续，证明：
\[
\left( \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x \right)^{2}\leqslant \frac{\pi}{4}\int_{0}^{1} \frac{f^{2}(x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x
\]
Q4
Question
若 \(a>0\)，证明：
\[
\int_{0}^{\pi} xa^{\sin x} \mathrm{~d} x \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} a^{-\cos x} \mathrm{~d} x \geqslant \frac{\pi^{3}}{4}
\]
Q5（康托洛维奇不等式）
Question
设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，且当 \(x\in[a,b]\) 时，有 \(0<m\leqslant f(x)\leqslant M\)，证明：
\[
(b-a)^{2}\leqslant \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} \mathrm{~d} x \leqslant (b-a)^{2}\frac{(m+M)^{2}}{4mM}
\]
Q6
Question
证明不等式：
\[
\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{ x^{2} }\mathrm{~d} x \cdot \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{ -x^{2} } \mathrm{~d} x \leqslant \frac{(\mathrm{e} +1)^{2}}{4\mathrm{e}}
\]
结合牛莱公式
Q7
Question
设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上有连续导数，且 \(f(0)=0\)，证明：
\[
\int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{~d} x \leqslant \frac{1}{2}\int_{0}^{1} [f'(x)]^{2} \mathrm{~d} x
\]
Q8
Question
设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上有连续导数，且 \(f(0)=f(1)=0\)，证明：
\[
\int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{~d} x \leqslant \frac{1}{4}\int_{0}^{1} [f'(x)]^{2} \mathrm{~d} x
\]
Q9
Question
设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上有连续导数，且 \(f(0)=f(1)=0\)，证明：
\[
\int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{~d} x \leqslant \frac{1}{8}\int_{0}^{1} [f'(x)]^{2} \mathrm{~d} x
\]
Q10
Question
设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上有连续导数，且 \(f(0)=0\)，证明：
\[
|f(x)|\leqslant \sqrt{ \int_{0}^{1} [f'(x)]^{2} \mathrm{~d} x }
\]
Q11
Question
设 \(f'(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续，且 \(f(1)-f(0)=1\)，证明：
\[
\int_{0}^{1} [f'(x)]^{2} \mathrm{~d} x \geqslant 1
\]
Q12
Question
设函数 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 连续可导且单调增加，\(f(0)=0\)，证明：
\[
\left( \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x \right)^{2}\leqslant \frac{4}{9}\int_{0}^{1} [f'(x)]^{2} \mathrm{~d} x
\]
Q13
Question
设函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续可导，且 \(f(b)=0\)，证明：
\[
\left( \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x \right)^{2}\leqslant \frac{(b-a)^{3}}{3}\int_{a}^{b} [f'(x)]^{2} \mathrm{~d} x
\]
Answer
见 你真的懂分部积分吗
Q14
Question
设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续可导，且 \(f(a)=f(b)=0\)，证明：
\[
\left( \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x \right)^{2}\leqslant \frac{(b-a)^{3}}{12}\int_{a}^{b} [f'(x)]^{2} \mathrm{~d} x
\]
Answer
见 你真的懂分部积分吗
Q15
Question
设函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上二阶连续可导，且 \(f(a)=f(b)=0\)，证明：
\[
\left( \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x \right)^{2}\leqslant \frac{(b-a)^{5}}{120}\int_{a}^{b} [f''(x)]^{2} \mathrm{~d} x
\]
Answer
见 你真的懂分部积分吗
构造辅助函数
Q16
Question
设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上具有连续的导函数，且 \(f(0)=f(1)=-\dfrac{1}{6}\)，证明：
\[
\int_{0}^{1} [f'(x)]^{2} \mathrm{~d} x \geqslant 2\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x +\frac{1}{4}
\]
Q17
Question
设函数 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续，且 \(\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x=1\)，\(\displaystyle \int_{0}^{1} xf(x) \mathrm{~d} x=\frac{27}{2}\)，证明：
\[
\int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{~d} x > 2027
\]
Q18
Question
设函数 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续，且 \(f(0)=f(1)=0\)，证明：
\[
\left( \int_{0}^{1} xf(x) \mathrm{~d} x \right)^{2}\leqslant \frac{1}{45}\int_{0}^{1} [f'(x)]^{2} \mathrm{~d} x
\]
并给出取等时的 \(f(x)\).
Q19
Question
设函数 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续，且 \(\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x=1\)，证明：
\[
\left( \int_{0}^{1} xf(x) \mathrm{~d} x \right)^{2}\leqslant \frac{1}{12}\int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{~d} x
\]
Q20
Question
设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上有二阶连续导数，且 \(f(0)=f(1)=f'(0)=0\)，\(f'(1)=1\)，证明：
\[
\int_{0}^{1} [f''(x)]^{2} \mathrm{~d} x \geqslant 4
\]
并给出取等时的 \(f(x)\).
Q21
Question
设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上有二阶连续导数，且 \(f'(0)=\mathrm{e}f(1)\)，证明：若 \(\displaystyle \int_{0}^{1} [f''(x)]^{2} \mathrm{~d} x\leqslant 1\)，则：
\[
\left| \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{ x }(x+1)f(x) \mathrm{~d} x \right| <1
\]
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