1997 年

Example

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{3\sin x+x^2\cos \dfrac{1}{x}}{(1+\cos x)\ln(1+x)}=\) ?

Example

设幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\) 的收敛半径为 \(3\)，则幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}na_n(x-1)^{n+1}\) 的收敛区间为 ?

Example

对数螺线 \(\rho=e^{\theta}\) 在点 \(\displaystyle(\rho,\theta)=\left(e^{\frac{\pi}{2}},\frac{\pi}{2}\right)\) 处的切线的直角坐标方程为 ?

Example

设 \(A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 4 & t & 3 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}\)，\(B\) 为 \(3\) 阶非零矩阵，且 \(AB=O\)，则 \(t=\) ?

Example

袋中有 \(50\) 个乒乓球，其中 \(20\) 个是黄球，\(30\) 个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是 ?

Example

二元函数

在点 \((0,0)\) 处 ?

(A) 连续，偏导数存在。

(B) 连续，偏导数不存在。

(C) 不连续，偏导数存在。

(D) 不连续，偏导数不存在。

Example

设在区间 \([a,b]\) 上 \(f(x)>0,\,f'(x)<0,\,f''(x)>0\)。令

则 ?

(A) \(S_1<S_2<S_3.\)

(B) \(S_2<S_1<S_3.\)

(C) \(S_3<S_1<S_2.\)

(D) \(S_2<S_3<S_1.\)

Example

设 \(\displaystyle F(x)=\int_{x}^{x+2\pi}e^{\sin t}\sin t\,\mathrm{d}t\)，则 \(F(x)\) ?

(A) 为正常数。

(B) 为负常数。

(C) 恒为零。

(D) 不为常数。

Example

设

则三条直线 \(a_1x+b_1y+c_1=0,\,a_2x+b_2y+c_2=0,\,a_3x+b_3y+c_3=0\)（其中 \(a_i^2+b_i^2\neq 0,\,i=1,2,3\)）交于一点的充要条件是 ?

(A) \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3\) 线性相关。

(B) \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3\) 线性无关。

(C) 秩 \(r(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3)=\) 秩 \(r(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2)\)。

(D) \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3\) 线性相关，\(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2\) 线性无关。

Example

设两个相互独立的随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 的方差分别为 \(4\) 和 \(2\)，则随机变量 \(3X-2Y\) 的方差是 ?

(A) \(8\).

(B) \(16\).

(C) \(28\).

(D) \(44\).

Example

计算 \(\displaystyle I=\iiint_\Omega (x^2+y^2)\mathrm{d}v\)，其中 \(\Omega\) 为平面曲线 \(\begin{cases}y^2=2z,\\x=0\end{cases}\) 绕 \(z\) 轴旋转一周形成的曲面与平面 \(z=8\) 所围成的区域。

Example

计算曲线积分 \(\displaystyle \oint_C (z-y)\mathrm{d}x+(x-z)\mathrm{d}y+(x-y)\mathrm{d}z\)，其中 \(C\) 是曲线 \(\begin{cases}x^2+y^2=1,\\x-y+z=2,\end{cases}\) 从 \(z\) 轴正方向往 \(z\) 轴负方向看，\(C\) 的方向是顺时针的。

Example

在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的。设该人群的总人数为 \(N\)，在 \(t=0\) 时刻已掌握新技术的人数为 \(x_0\)，在任意时刻 \(t\) 已掌握新技术的人数为 \(x(t)\)（将 \(x(t)\) 视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数 \(k>0\)，求 \(x(t)\)。

Example

设直线 \(l:\begin{cases}x+y+b=0,\\x+ay-z-3=0\end{cases}\) 在平面 \(\pi\) 上，而平面 \(\pi\) 与曲面 \(z=x^2+y^2\) 相切于点 \((1,-2,5)\)，求 \(a,b\) 之值。

Example

设函数 \(f(u)\) 具有二阶连续导数，而 \(z=f(\mathrm{e}^x\sin y)\) 满足方程 \(\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=\mathrm{e}^{2x}z\)，求 \(f(u)\)。

Example

设 \(f(x)\) 连续，\(\displaystyle \varphi(x)=\int_0^1 f(xt)\mathrm{d}t\)，且 \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=A\)（\(A\) 为常数），求 \(\varphi'(x)\) 并讨论 \(\varphi'(x)\) 在 \(x=0\) 处的连续性。

Example

设 \(a_1=2,\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right)\ (n=1,2,\cdots)\)，证明：

(1) \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n\) 存在；

(2) 级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)\) 收敛。

Example

设 \(B\) 是秩为 \(2\) 的 \(5\times 4\) 矩阵，\(\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,2,3)^\mathrm{T}\)，\(\boldsymbol{\alpha}_2=(-1,1,4,-1)^\mathrm{T}\)，\(\boldsymbol{\alpha}_3=(5,-1,-8,9)^\mathrm{T}\) 是齐次线性方程组 \(B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\) 的解向量，求 \(B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\) 的解空间的一个标准正交基。

Example

已知 \(\boldsymbol{\xi}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\) 是矩阵 \(A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 2\\5 & a & 3\\-1 & b & -2\end{pmatrix}\) 的一个特征向量。

(1) 试确定参数 \(a,b\) 及特征向量 \(\boldsymbol{\xi}\) 所对应的特征值；

(2) 问 \(A\) 能否相似于对角阵？说明理由。

Example

设 \(A\) 是 \(n\) 阶可逆方阵，将 \(A\) 的第 \(i\) 行和第 \(j\) 行对换后得到的矩阵记为 \(B\)。

(1) 证明 \(B\) 可逆；

(2) 求 \(AB^{-1}\)。

Example

从学校乘汽车到火车站的途中有 \(3\) 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 \(\dfrac{2}{5}\)。设 \(X\) 为途中遇到红灯的次数，求随机变量 \(X\) 的分布律、分布函数和数学期望。

Example

设总体 \(X\) 的概率密度为

其中 \(\theta>-1\) 是未知参数，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是来自总体 \(X\) 的一个容量为 \(n\) 的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求 \(\theta\) 的估计量。