1995 年

Example

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}(1+3x)^{\frac{2}{\sin x}}=\) ?

Example

\(\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{x^2}^{0}x\cos t^2\,\mathrm{d}t=\) ?

Example

设 \((\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=2\)，则 \([(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\times(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})]\cdot(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{a})=\) ?

Example

幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n+(-3)^n}x^{2n-1}\) 的收敛半径 \(R=\) ?

Example

设 3 阶方阵 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\) 满足关系式 \(\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}=6\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\)，且

则 \(\boldsymbol{B} =\) ?

Example

设有直线 \(L:\begin{cases} x+3y+2z+1=0,\\ 2x-y-10z+3=0 \end{cases}\) 及平面 \(\pi:4x-2y+z-2=0\)，则直线 \(L\) ?

(A) 平行于 \(\pi\)

(B) 在 \(\pi\) 上

(C) 垂直于 \(\pi\)

(D) 与 \(\pi\) 斜交

Example

设在 \([0,1]\) 上 \(f''(x)>0\)，则 \(f'(0),f'(1),f(1)-f(0)\) 或 \(f(0)-f(1)\) 的大小顺序为 ?

(A) \(f'(1)>f'(0)>f(1)-f(0)\)

(B) \(f'(1)>f(1)-f(0)>f'(0)\)

(C) \(f(1)-f(0)>f'(1)>f'(0)\)

(D) \(f'(1)>f(0)-f(1)>f'(0)\)

Example

设 \(f(x)\) 可导 , \(F(x)=f(x)(1+|\sin x|)\), 则 \(f(0)=0\) 是 \(F(x)\) 在 \(x=0\) 处可导的 ?

(A) 充分必要条件

(B) 充分条件但非必要条件

(C) 必要条件但非充分条件

(D) 既非充分条件又非必要条件

Example

设 \(u_n=(-1)^n\ln\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)\), 则级数 ?

(A) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\) 与 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n^2\) 都收敛

(B) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\) 与 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n^2\) 都发散

(C) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\) 收敛而 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n^2\) 发散

(D) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\) 发散而 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n^2\) 收敛

Example

设

则必有 ?

(A) \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}_1\boldsymbol{P}_2=\boldsymbol{B}\)

(B) \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}_2\boldsymbol{P}_1=\boldsymbol{B}\)

(C) \(\boldsymbol{P}_1\boldsymbol{P}_2\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\)

(D) \(\boldsymbol{P}_2\boldsymbol{P}_1\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\)

Example

设 \(u=f(x,y,z)\), \(\varphi(x^2,\mathrm{e}^y,z)=0\), \(y=\sin x\), 其中 \(f,\varphi\) 都具有一阶连续偏导数 , 且 \(\dfrac{\partial \varphi}{\partial z}\neq 0\), 求 \(\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\).

Example

设函数 \(f(x)\) 在区间 \([0,1]\) 上连续 , 并设 \(\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x=A\), 求：\(\displaystyle \int_{0}^{1}\mathrm{d}x\int_{x}^{1}f(x)f(y)\mathrm{d}y.\)

Example

计算曲面积分 \(\displaystyle\iint_{\Sigma}z\,\mathrm{d}S\), 其中 \(\Sigma\) 为锥面 \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) 在柱体 \(x^2+y^2\leqslant 2x\) 内的部分 .

Example

将函数 \(f ( x ) = x - 1 ( 0 \leqslant x \leqslant 2 )\) 展开成周期为 4 的余弦级数。

Example

设曲线 \(L\) 位于 \(xOy\) 平面的第一象限内，\(L\) 上任一点 \(M\) 处的切线与 \(y\) 轴总相交，交点记为 \(A\)。已知 \(|\overline{MA}|=|\overline{OA}|\)，且 \(L\) 过点 \(\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2}\right)\)，求 \(L\) 的方程。

Example

设函数 \(Q(x,y)\) 在 \(xOy\) 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 \(\displaystyle\int_L 2xy\,\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y\) 与路径无关，并且对任意 \(t\) 恒有

求 \(Q(x,y)\)。

Example

设函数 \(f(x),g(x)\) 在 \([a,b]\) 上存在二阶导数，并且 \(g''(x)\neq 0\)，\(f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0\)，试证：

(1) 在开区间 \((a,b)\) 内 \(g(x)\neq 0\)；

(2) 在开区间 \((a,b)\) 内至少存在一点 \(\xi\)，使 \(\dfrac{f(\xi)}{g(\xi)}=\dfrac{f''(\xi)}{g''(\xi)}\)。

Example

设 \(3\) 阶实对称矩阵 \(A\) 的特征值为 \(\lambda_1=-1,\lambda_2=\lambda_3=1\)，对应于 \(\lambda_1\) 的特征向量为 \(\boldsymbol{\xi}_1=(0,1,1)^\mathrm{T}\)，求 \(A\)。

Example

设 \(A\) 是 \(n\) 阶矩阵，满足 \(AA^\mathrm{T}=E\)（\(E\) 为 \(n\) 阶单位矩阵，\(A^\mathrm{T}\) 为 \(A\) 的转置矩阵），\(|A|<0\)，求 \(|A+E|\)。

Example

设 \(X\) 表示 \(10\) 次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的命中率为 \(0.4\)，则 \(X^2\) 的数学期望 \(E(X^2)=\) ?

Example

设 \(X\) 和 \(Y\) 为两个随机变量，且 \(P\{X\geqslant 0,Y\geqslant 0\}=\dfrac{3}{7}\)，\(P\{X\geqslant 0\}=P\{Y\geqslant 0\}=\dfrac{4}{7}\)，则 \(P\{\max(X,Y)\geqslant 0\}=\) ?

Example

设随机变量 \(X\) 的概率密度为

求随机变量 \(Y=\mathrm{e}^X\) 的概率密度 \(f_Y(y)\)。