一道证明函数极限存在的好题
在导数有界约束下积分估值证明中，我介绍过两种常用的处理导函数和原函数关系的方法吗，本节分享的题目需要用到这种处理手段，是一道证明函数极限存在的题目。
例题
Example
设 \(f(x)\) 在 \([1,+\infty)\) 上有连续一阶导数，且满足：
\[
f'(x) = \frac{1}{1+f^2(x)} \left[ \sqrt{\frac1x} - \sqrt{\ln\left(1+\frac1x \right)} \right]
\]
证明：\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)\) 存在 .
分析：证明函数极限存在，常用的方法有两种，一种是利用迫敛性；另一种则是利用单调有界准则。而本题给出了导函数的关系式，根据导数的正负性我们就可以判断原函数的增减性，因此我们考虑使用单调有界准则来进行证明。
证明：首先根据题目条件考察导函数的符号，由于 \(\dfrac{1}{1+f^2(x)}\) 显然是正的，因此我们重点研究 \(\displaystyle \sqrt{\frac1x} - \sqrt{\ln\left(1+\frac1x \right)}\) 的符号。
考虑不等式 \(\ln(1+x) \leqslant x\)，故中括号内的部分为正，因此 \(f'(x) \geqslant 0\).
所以 \(f(x)\) 在定义域内单调增，故接下来只需要证明 \(f(x)\) 上有界即可说明极限存在。
为了联系起导函数和原函数之间的关系，我们考虑使用 \(\mathrm{Newton-Leibniz}\) 公式。
\[
\begin{aligned}
f(x) - f(1) &= \int_1^x f'(t) \mathrm{d}t\\[0.2cm]
&= \int_1^x \frac{1}{1+f^2(t)} \left[ \sqrt{\frac1t} - \sqrt{\ln\left(1+\frac1t \right)} \right] \mathrm{d}t\\[0.2cm]
& \leqslant \int_1^x \left[ \sqrt{\frac1t} - \sqrt{\ln\left(1+\frac1t \right)} \right] \mathrm{d}t\\[0.2cm]
\end{aligned}
\]
考虑不等式 \(\dfrac{x}{1+x} \leqslant \ln(1+x)\)，代入得：
\[
\begin{aligned}
f(x) - f(1) & \leqslant \int_1^x \left[ \sqrt{\frac1t} - \sqrt{\ln\left(1+\frac1t \right)} \right] \mathrm{d}t\\[0.2cm]
& \leqslant \int_1^x \left[ \sqrt{\frac1t} - \sqrt{\frac{1}{1+t}} \right] \mathrm{d}t\\[0.2cm]
\end{aligned}
\]
两个根号相减，形式上不难想到 \(\mathrm{Lagrange}\) 中值定理，即：
\[
\begin{aligned}
\sqrt{\frac1t} - \sqrt{\frac{1}{1+t}} &= -\frac12 \cdot \frac{1}{\sqrt{\xi^3}} \cdot[t - (t+1)]\\[0.2cm]
& = \frac{1}{2\sqrt{\xi^3}}
\end{aligned}
\]
其中 \(\xi \in (t,t+1)\).
因此：
\[
\begin{aligned}
f(x) - f(1) & \leqslant \int_1^x \left[ \sqrt{\frac1t} - \sqrt{\frac{1}{1+t}} \right] \mathrm{d}t\\[0.2cm]
& = \int_1^x \frac{1}{2\sqrt{\xi^3}} \mathrm{d}t\\[0.2cm]
& \leqslant \int_1^x \frac{1}{2\sqrt{t^3}} \mathrm{d}t\\[0.2cm]
& \leqslant \int_1^{+\infty} \frac{1}{2\sqrt{t^3}} \mathrm{d}t\\[0.2cm]
\end{aligned}
\]
根据 \(p\)- 审敛法可知，不等式右端的这个反常积分 \(p=\dfrac32 >1\) 是收敛的，因此有上界，又因为 \(f(1)\) 也是一个有限值，所以我们就证明出来了 \(f(x)\) 上有界。
综上，\(f(x)\) 单增且上有界，根据单调有界准则可知，\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)\) 存在 .
Tip
当然，放缩的方法是多种多样的，也可以考虑不使用中值定理，在 \(\ln\) 的那一步直接使用 \(\mathrm{Taylor}\) 展开亦可，最后也是化归到判断这个反常积分的敛散性。
总的来看，这个题目还是比较综合的，希望大家都能好好掌握！
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