泊松积分
本节分享的是泊松积分的求解方法，常用的求解方法有两种，第一种是利用欧拉公式结合复变函数的相关知识进行求解；第二种方法是利用含参积分法，也就是所谓的费曼积分法。下面介绍第二种方法。
积分公式及证明 ¶
Abstract
\(\displaystyle \int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-ax^2}\cos bx{\rm d}x=\frac12\sqrt{\frac{\pi}{a}}\,\mathrm{e}^{-\frac{b^2}{4a}}\)
构造含参积分，设 \(I(b)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-ax^2}\cos bx{\rm d}x\)
当 \(b=0\) 时，积分变成经典高斯积分，可以平方转为二重积分求解，也可以直接上 \(\mathrm{Gamma}\) 函数，做换元：
\[
t=ax^2 \Rightarrow x=\sqrt{\dfrac ta},\ \quad\mathrm dx=\dfrac1{2\sqrt{a}}t^{-\frac12}\mathrm dt
\]
\[
\begin{aligned} I(0)=\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-ax^2}\mathrm dx &=\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-t}\cdot \frac1{2\sqrt{a}}t^{-\frac12}\mathrm dt\\ &=\frac1{2\sqrt{a}}\int_{0}^{+\infty}t^{\frac12-1}\mathrm{e}^{-t}\mathrm dt\\ &=\frac1{2\sqrt{a}}\Gamma\left(\frac12\right) =\frac12\sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{aligned}
\]
故 \(I(0)=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt\frac{\pi}{a}\)
接下来对参数对 \(b\) 求导，得：
\[
\displaystyle I'(b)=-\int_0^{+\infty}x\mathrm{e}^{-ax^2}\sin bx{\rm d}x
\]
再分部积分：
\[
\begin{aligned} I'(b)&=\frac{1}{2a}\cdot\int_0^{+\infty}\sin bx{\rm d}(\mathrm{e}^{-ax^2})\\ &=\frac{1}{2a}\sin bx\cdot \mathrm{e}^{-ax^2}|_0^{+\infty}-\frac{1}{2a}\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-ax^2}{\rm d}(\sin bx)\\ &=-\frac{b}{2a}\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-ax^2}\cos bx{\rm d}x\\ &=-\frac{b}{2a}I(b) \end{aligned}
\]
即：
\[
\begin{aligned} I'(b)+\frac{b}{2a}I(b)=0 \end{aligned}
\]
这是一个关于 \(I(b)\) 的一阶线性齐次微分方程，分离变量，不难求出该方程的解为：
\[
\begin{aligned} I(b)=C\mathrm{e}^{-\frac{b^2}{4a}} \end{aligned}
\]
其中 \(C\) 为待定常数，将 \(I(0)\) 代入，即可求出 \(C\) ：
\[
\begin{aligned} I(0)=C=\frac{1}{2}\sqrt\frac{\pi}{a} \end{aligned}
\]
最终得到 \(I(b)\) 的表达式：
\[
\color{red}{ \boxed{\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-ax^2}\cos bx\,\mathrm dx =\frac12\sqrt{\frac{\pi}{a}}\,\mathrm{e}^{-\frac{b^2}{4a}}} }
\]
习题 ¶
Q1¶
Question
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{ -(3x^{2}+2\sqrt{ 2 }xy+3y^{2}) } \mathrm{~d} x \mathrm{d} y
\]
Q2¶
Question
\[
\int_{0}^{+\infty} \int_{0}^{+\infty} \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{ -(xy+yz+xz) } \mathrm{~d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z
\]
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