尾和公式

Example

在闭区间 \([0,1]\) 中期望抽取多少个数，它们的和才会大于 \(1\)？

这是一个非常经典且优雅的概率论问题。利用期望的尾和公式（也常被称为生存函数法）来解决它，能够巧妙地避开复杂的概率密度函数卷积计算。

下面我就来介绍一下尾和公式。

尾和公式

对于任意一个取非负整数值的随机变量 \(N\)，其期望值 \(E[N]\) 可以表示为其互补累积分布函数（即尾概率）的无穷级数求和。公式为：

\[ E[N] = \sum_{k=0}^{\infty} P(N > k) \]

下面给出证明：根据离散型随机变量期望的定义，我们有：

\[ E[N] = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot P(N = k) \]

我们可以将整数 \(k\) 展开为 \(k\) 个 \(1\) 相加的形式：

\[ E[N] = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \sum_{i=1}^{k} 1 \right) P(N = k) \]

交换求和次序：

\[ E[N] = \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{k=i}^{\infty} P(N = k) \]

注意到内部的求和 \(\displaystyle \sum_{k=i}^{\infty} P(N = k)\) 正好等于概率 \(P(N \geqslant i)\)：

\[ \begin{aligned} E[N] &= \sum_{i=1}^{\infty} P(N \geqslant i)\\ &= \sum_{k=0}^{\infty} P(N > k) \end{aligned} \]

证毕。

下面我们回到本文开头提出的问题：

设每次在 \([0, 1]\) 内随机抽取的数分别为 \(X_1, X_2, \dots, X_k, \dots\)，它们独立且服从均匀分布。设 \(N\) 为使得这些数的和第一次大于 \(1\) 时所需要的抽取次数。即：

\[ N = \min \left\{ n \geqslant 1 : \sum_{i=1}^{n} X_i > 1 \right\} \]

显然，\(N\) 是一个取非负整数值的随机变量（最小取值为 \(2\)），我们可以直接应用上面证明的尾和公式。

事件 \(\{N > k\}\) 的实际意义是：前 \(k\) 次抽取的数字之和依然没有超过 \(1\)。即：

\[ \sum_{i=1}^{k} X_i \leqslant 1 \]

由于每个 \(X_i \in [0, 1]\)，这个不等式在 \(k\) 维空间中定义了一个标准的单纯形。

当 \(k=1\) 时：\(X_1 \leqslant 1\)，这是长度为 \(1\) 的线段，概率（长度）为 \(1\)。
当 \(k=2\) 时：\(X_1 + X_2 \leqslant 1\)，这是一个直角三角形，概率（面积）为 \(\dfrac{1}{2}\)。
当 \(k=3\) 时：\(X_1 + X_2 + X_3 \leqslant 1\)，这是一个三棱锥，概率（体积）为 \(\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3!}\)。

由多重积分可以得出，在 \(k\) 维单位超立方体 \([0, 1]^k\) 中，满足 \(x_1 + x_2 + \dots + x_k \leqslant 1\) 的区域体积为：

\[ P(N > k) = P\left( \sum_{i=1}^{k} X_i \leqslant 1 \right) = \frac{1}{k!} \]

将得到的尾概率代入尾和公式：

\[ \begin{aligned} E[N] &= \sum_{k=0}^{\infty} P(N > k) \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\\[0.2pt] &= \mathrm{e} \end{aligned} \]

因此，期望需要抽取 \(e\) 个数（约 \(2.718\) 个），它们的和才会大于 \(1\)。

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