1990 年
第 1 题 ¶
Example
过点 \(M(1,2,-1)\) 且与直线
垂直的平面方程为？
待求平面的法向量和已知直线的方向向量平行，再结合过定点即可。
第 2 题 ¶
Example
设 \(a\) 为非零常数，则 \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+a}{x-a}\right)^x=\) ?
\(1^{\infty}\) 型，套路题。
第 3 题 ¶
Example
设函数
则函数 \(f[f(x)]=\) ?
根据题意逐步化简即可，由于 \(|f(x)|\leqslant 1\)，因此最后的结果只有一支。
第 4 题 ¶
Example
积分 \(\displaystyle \int_{0}^{2}\mathrm{d}x\int_{x}^{2}e^{-y^2}\mathrm{d}y=\) ?
显然需要换序。
第 5 题 ¶
Example
已知向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_1=(1,2,3,4),\boldsymbol{\alpha}_2=(2,3,4,5),\boldsymbol{\alpha}_3=(3,4,5,6),\boldsymbol{\alpha}_4=(4,5,6,7)\)，则该向量组的秩为 ?
按列拼起来进行初等行变换。最后得到的阶梯型矩阵在主元位置的两列就可以作为极大无关组，当然这是不唯一的，但是极大无关组包含的向量个数，也就是秩，是唯一的。
通过最后得到的阶梯矩阵，我们还可以得出其余向量用极大无关组线性表示的表达式，就是我红笔写的那部分。
第 6 题 ¶
Example
设 \(f(x)\) 为连续函数，\(\displaystyle F(x)=\int_{x}^{e^{-x}}f(t)\mathrm{d}t\)，则 \(F'(x)=\) ?
(A) \(-\mathrm{e}^{-x}f(\mathrm{e}^{-x})-f(x)\)
(B) \(-\mathrm{e}^{-x}f(\mathrm{e}^{-x})+f(x)\)
(C) \(\mathrm{e}^{-x}f(\mathrm{e}^{-x})-f(x)\)
(D) \(\mathrm{e}^{-x}f(\mathrm{e}^{-x})+f(x)\)
求导题。
第 7 题 ¶
Example
已知 \(f(x)\) 具有任意阶连续导数，且 \(f'(x)=[f(x)]^2\)，则当 \(n\) 为大于 \(2\) 的正整数时，\(f(x)\) 的 \(n\) 阶导数 \(f^{(n)}(x)=\) ?
(A) \(n![f(x)]^{n+1}\)
(B) \(n[f(x)]^{n+1}\)
(C) \([f(x)]^{2n}\)
(D) \(n![f(x)]^{2n}\)
这种类型的高阶导数题直接找规律归纳即可。
第 8 题 ¶
Example
设 \(\alpha\) 为常数，则级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sin n\alpha}{n^2}-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\) ?
(A) 绝对收敛
(B) 条件收敛
(C) 发散
(D) 收敛性与 \(\alpha\) 的取值有关
将级数拆成两部分，分别判断敛散性。发现一个绝对收敛，一个发散，因此整体是发散的。
第 9 题 ¶
Example
已知 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 的某邻域内连续，且 \(f(0)=0,\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{1-\cos x}=2\)，则在点 \(x=0\) 处 \(f(x)\) ?
(A) 不可导
(B) 可导，且 \(f'(0)\neq 0\)
(C) 取得极大值
(D) 取得极小值
考察极限的保号性和极值的定义。
第 10 题 ¶
Example
已知 \(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2\) 是非齐次线性方程组 \(A\boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}\) 的两个不同解，\(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2\) 是对应的齐次线性方程组 \(A\boldsymbol{X}=\boldsymbol{0}\) 的基础解系，\(k_1,k_2\) 为任意常数，则方程组 \(A\boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}\) 的通解为 ?
(A) \(k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2)+\dfrac{\boldsymbol{\beta}_1-\boldsymbol{\beta}_2}{2}\)
(B) \(k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2(\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2)+\dfrac{\boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2}{2}\)
(C) \(k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2(\boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2)+\dfrac{\boldsymbol{\beta}_1-\boldsymbol{\beta}_2}{2}\)
(D) \(k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2(\boldsymbol{\beta}_1-\boldsymbol{\beta}_2)+\dfrac{\boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2}{2}\)
非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解。其中非齐次特解的组合仍然可以只看系数，和 1989 年数一的第 8 题比较类似。忘记的朋友可以回顾一下这道题。详细过程如下：
第 11 题 ¶
Example
求 \(\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{(2-x)^2}\mathrm{d}x.\)
分部积分即可。
第 12 题 ¶
Example
设 \(z=f(2x-y,y\sin x)\)，其中 \(f(u,v)\) 具有二阶连续偏导数，求 \(\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}.\)
简单计算题。
第 13 题 ¶
Example
求微分方程 \(y''+4y'+4y=\mathrm{e}^{-2x}\) 的通解 .
二阶线性微分方程基础题。
第 14 题 ¶
Example
求幂级数 \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(2n+1)x^{n}\) 的收敛域，并求其和函数 .
通过比值或者根值判别法容易求出收敛域。
对于和函数，常见的方法有两种，第一种是运用逐项求导和逐项积分的性质进行求解，过程如下：
另一种方法是通过常见的幂级数和函数进行线性组合，适用于这种形式比较简单的题目。对于本题，显然可以由如下两个幂级数进行组合：
第 15 题 ¶
Example
求曲面积分 \(\displaystyle I=\iint_{\Sigma}yz\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x+2\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)，其中 \(\Sigma\) 是球面 \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\ (z\geqslant 0)\) 的外侧 .
补面法 + \(\mathrm{Gauss}\) 公式。
Tip
注意我们补的面方向取的是下侧，因此在化为二重积分的时候千万不要漏了负号！
第 16 题 ¶
Example
设不恒为常数的函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，在开区间 \((a,b)\) 内可导，且 \(f(a)=f(b)\)，证明：在 \((a,b)\) 内至少存在一点 \(\xi\)，使得 \(f'(\xi)>0\).
几何直观很好理解，连续函数在端点处相等，那么必然会有一段是增的状态。
考虑对任意区间内点的函数值和端点值的大小分类讨论，结合 \(\mathrm{Lagrange}\) 中值定理即可证明。
第 17 题 ¶
Example
设 4 阶矩阵 \(\displaystyle B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\ C=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 4\\ 0 & 2 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\)，且矩阵 \(A\) 满足关系式 \(A\left(E-C^{-1}B\right)^{\mathrm{T}}C^{\mathrm{T}}=E\)，其中 \(E\) 为 4 阶单位矩阵，\(C^{-1}\) 表示 \(C\) 的逆矩阵，\(C^{\mathrm{T}}\) 表示 \(C\) 的转置矩阵，将上述关系式化简并求矩阵 \(A\).
运用转置的性质进行化简，将问题转化为矩阵求逆。对于化简得到的这个 4 阶方阵，最简单的求逆方法是分块求解，当然直接初等变换也可以做，这里我采用后者。
如果只会用定义和初等变换求解逆矩阵，可以看看我之前的这篇文章，详细介绍了所有和逆矩阵有关的方法，非常全面：逆矩阵方法大全
第 18 题 ¶
Example
求一个正交变换，化二次型 \(f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}+4x_{3}^{2}-4x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{3}-8x_{2}x_{3}\) 为标准形 .
套路题，下面给出这类“用正交变换化简二次型”题型的处理步骤：
用正交变换化简二次型的处理步骤
- 写出二次型的系数矩阵 \(A\)，求出 \(A\) 的特征值 \(\lambda_{i}\) 及其线性无关的特征向量；
- 若 \(\lambda_{i}\) 是 \(k(k>1)\) 重特征值，则用 \(\mathrm{Gram-Schmidt}\) 正交化方法将它的 \(k\) 个线性无关的特征向量正交化。由于属于不同特征值的特征向量必然相互正交，因此单特征值对应的特征向量不必正交化。
- 假设已经得到 \(n\) 个两两正交的特征向量 \(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}\)，令 \(\beta_{i}=\dfrac{\alpha_{i}}{||\alpha_{i}||}(1\leqslant i \leqslant n)\)，则 \(\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{n}\) 是一组两两正交的单位特征向量。令 \(P=(\beta_{1},\beta_{2},\dots ,\beta_{n})\)，则 \(P\) 就是要求的正交矩阵，此时 \(P^{T}AP=\mathrm{diag}\left\{ \lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{n} \right\}\)，注意 \(\beta_{i}\) 是属于特征值 \(\lambda_{i}\) 的特征向量。
下面是本题的详细过程：
第 19 题 ¶
Example
质点 \(P\) 沿着以 \(AB\) 为直径的半圆周 , 从点 \(A(1,2)\) 运动到点 \(B(3,4)\) 的过程中受到力 \(\boldsymbol{F}\) 的作用 , \(\boldsymbol{F}\) 的大小等于点 \(P\) 到原点 \(O\) 之间的距离 , 其方向垂直于线段 \(OP\), 且与 \(y\) 轴正向的夹角小于 \(\dfrac{\pi}{2}\), 求变力 \(\boldsymbol{F}\) 对质点 \(P\) 所做的功 .
物理应用，和 1988 年数一那题类似。本题考虑补线法 + \(\mathrm{Green}\) 公式求解。
第 20 题 ¶
Example
已知随机变量 \(X\) 的概率密度函数为 \(f(x)=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-|x|},\,-\infty<x<+\infty\), 则随机变量 \(X\) 的概率分布函数为 \(F(x)=\underline{\qquad\qquad\qquad}\).
考察分布函数定义，注意绝对值需要分段处理。
第 21 题 ¶
Example
设随机事件 \(A,B\) 及其和事件 \(A\cup B\) 的概率分别为 \(0.4,\,0.3\) 和 \(0.6\), 设 \(\overline{B}\) 为事件 \(B\) 的对立事件 , 则 \(P\left(A\overline{B}\right)=\underline{\qquad\qquad\qquad}\).
加法公式，减法公式。
第 22 题 ¶
Example
已知离散型随机变量 \(X\) 服从参数为 \(2\) 的泊松分布 , 即 \(P\{X=k\}=\dfrac{2^k}{k!}\mathrm{e}^{-2}\,(k=0,1,2,\cdots)\), 则随机变量 \(Z=3X-2\) 的数学期望 \(E(Z)=\underline{\qquad\qquad\qquad}\).
泊松分布期望公式，期望的线性性质。
第 23 题 ¶
Example
设二维随机变量 \((X,Y)\) 在区域 \(D=\{(x,y)\mid 0<x<1,|y|<x\}\) 内服从均匀分布，求关于 \(X\) 的边缘概率密度及随机变量 \(Z=2X+1\) 的方差 \(D(Z)\).
首先根据均匀分布得出 \((X,Y)\) 的联合概率密度函数，然后通过边缘概率密度定义求解第一问。
对于 \(Z\) 的方差，等价于求解 \(X\) 的方差，根据定义分别求出 \(\mathbb{E}X\) 和 \(\mathbb{E}X^{2}\) 即可。
以上就是对于 1990 年数一真题的全部解答，总体来看难度和前几年差不多，但是考察了很多前几年数一没有涉及到的知识点，如高阶导数、线性方程组解的结构、正交矩阵，边缘概率密度等。其中第 18 题计算量较大。
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