区间再现超绝练习题
本节带来一道超级好的定积分题目，涉及到分部积分、区间再现等常用处理方法，当然处理方法非常多，这里只分享我最喜欢的一种，欢迎大家在评论区分享自己的方法！
Example
\[
I=\int_{0}^{\pi} \frac{x\sin x}{1-\cos x} \mathrm{~d} x
\]
首先我们发现 \(\mathrm{~d} \ln(1-\cos x)=\displaystyle \frac{\sin x}{1-\cos x}\mathrm{~d} x\)，因此考虑凑微分，分部积分：
\[
\begin{aligned}
I &= \int_{0}^{\pi} \frac{x\sin x}{1-\cos x} \mathrm{~d} x \\
&= \int_{0}^{\pi} x \mathrm{~d} \ln(1-\cos x)\\
&= x\ln(1-\cos x)\bigg|_{0}^{\pi}- \int_{0}^{\pi} \ln(1-\cos x) \mathrm{~d} x \\
&\triangleq \pi \ln 2 - J
\end{aligned}
\]
下面我们来求解积分 \(J\)，考虑使用区间再现，得：
\[
\begin{aligned}
J &= \int_{0}^{\pi} \ln(1-\cos x) \mathrm{~d} x \\
&= \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} [\ln(1-\cos x)+\ln(1+\cos x)] \mathrm{~d} x \\
&= \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} \ln[(1-\cos x)(1+\cos x)] \mathrm{~d} x \\
&= \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \ln \sin ^{2}x \mathrm{~d} x \\
&= \int_{0}^{\pi} \ln \sin x \mathrm{~d} x \\
&= 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x \mathrm{~d} x
\end{aligned}
\]
于是我们发现 \(J\) 的值就是 2 倍的欧拉积分！而欧拉积分的结果我们是熟知的，为 \(-\dfrac{\pi \ln2}{2}\)，不熟悉的朋友可以参考我总结的区间再现模型大全的例题 9：区间再现最全模型
将积分 \(J\) 的结果带回，我们就能得到最终的答案了：
\[
\begin{aligned}
I &= \pi \ln2 - (-\pi \ln 2)\\
&= 2\pi \ln 2
\end{aligned}
\]
怎么样，是不是非常精彩呢？
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