2005 年

Example

曲线 \(y=\dfrac{x^2}{2x+1}\) 的斜渐近线方程为 ?

Example

微分方程 \(xy'+2y=x\ln x\) 满足 \(y(1)=-\dfrac{1}{9}\) 的解为 ?

Example

设函数 \(u(x,y,z)=1+\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{12}+\dfrac{z^2}{18}\)，单位向量 \(\boldsymbol{n}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)\)，则 \(\left.\dfrac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{(1,2,3)}=\) ?

Example

设 \(\Omega\) 是由锥面 \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) 与半球面 \(z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}\) 围成的空间区域，\(\Sigma\) 是 \(\Omega\) 的整个边界的外侧，则 \(\displaystyle\iint_\Sigma x\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\) ?

Example

设 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 均为 3 维列向量，记矩阵

如果 \(|A|=1\)，那么 \(|B|=\) ?

Example

从数 \(1,2,3,4\) 中任取一个数，记为 \(X\)，再从 \(1,\cdots,X\) 中任取一个数，记为 \(Y\)，则 \(P\{Y=2\}=\) ?

Example

设函数 \(f(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+|x|^{3n}}\)，则 \(f(x)\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 内 ?

(A) 处处可导 .

(B) 恰有一个不可导点 .

(C) 恰有两个不可导点 .

(D) 至少有三个不可导点 .

Example

设 \(F(x)\) 是连续函数 \(f(x)\) 的一个原函数，“\(M\iff N\)” 表示“\(M\) 的充分必要条件是 \(N\)”，则必有 ?

(A) \(F(x)\) 是偶函数 \(\iff f(x)\) 是奇函数 .

(B) \(F(x)\) 是奇函数 \(\iff f(x)\) 是偶函数 .

(C) \(F(x)\) 是周期函数 \(\iff f(x)\) 是周期函数 .

(D) \(F(x)\) 是单调函数 \(\iff f(x)\) 是单调函数 .

Example

设函数 \(u(x,y) = \displaystyle \varphi(x+y) + \varphi(x-y) + \int_{x-y}^{x+y} \psi(t)\mathrm{d}t\)，其中函数 \(\varphi\) 具有二阶导数，\(\psi\) 具有一阶导数，则必有 ?

(A) \(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}\).

(B) \(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}\).

(C) \(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial y} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}\).

(D) \(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial y} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}\).

Example

设有三元方程 \(\displaystyle xy - z\ln y + \mathrm{e}^{xz} = 1\)，根据隐函数存在定理，存在点 \((0,1,1)\) 的一个邻域，在此邻域内该方程 ?

(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 \(z = z(x,y)\).

(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 \(y = y(x,z)\) 和 \(z = z(x,y)\).

(C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 \(x = x(y,z)\) 和 \(z = z(x,y)\).

(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 \(x = x(y,z)\) 和 \(y = y(x,z)\).

Example

设 \(\lambda_1,\lambda_2\) 是矩阵 \(A\) 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 \(\alpha_1,\alpha_2\)，则 \(\alpha_1,A(\alpha_1+\alpha_2)\) 线性无关的充分必要条件是 ?

(A) \(\lambda_1 \neq 0\).

(B) \(\lambda_2 \neq 0\).

(C) \(\lambda_1 = 0\).

(D) \(\lambda_2 = 0\).

Example

设 \(A\) 为 \(n\ (n\geqslant 2)\) 阶可逆矩阵，交换 \(A\) 的第 \(1\) 行与第 \(2\) 行得矩阵 \(B\)，\(A^*,B^*\) 分别为 \(A,B\) 的伴随矩阵，则 ?

(A) 交换 \(A^*\) 的第 \(1\) 列与第 \(2\) 列得 \(B^*\).

(B) 交换 \(A^*\) 的第 \(1\) 行与第 \(2\) 行得 \(B^*\).

(C) 交换 \(A^*\) 的第 \(1\) 列与第 \(2\) 列得 \(-B^*\).

(D) 交换 \(A^*\) 的第 \(1\) 行与第 \(2\) 行得 \(-B^*\).

Example

设二维随机变量 \((X,Y)\) 的概率分布如下表。已知随机事件 \(\{X=0\}\) 与 \(\{X+Y=1\}\) 相互独立，则 ?

(A) \(a=0.2,\,b=0.3\).

(B) \(a=0.4,\,b=0.1\).

(C) \(a=0.3,\,b=0.2\).

(D) \(a=0.1,\,b=0.4\).

Example

设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\ (n\geqslant 2)\) 为来自总体 \(N(0,1)\) 的简单随机样本，\(\overline{X}\) 为样本均值，\(S^2\) 为样本方差，则 ?

(A) \(n\overline{X} \sim N(0,1)\).

(B) \(nS^2 \sim \chi^2(n)\).

(C) \(\dfrac{(n-1)\overline{X}}{S} \sim t(n-1)\).

(D) \(\dfrac{(n-1)X_1^2}{\displaystyle\sum_{i=2}^n X_i^2} \sim F(1,n-1)\).

Example

设 \(D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leqslant \sqrt{2},\ x\geqslant 0,\ y\geqslant 0\}\)，\([1+x^2+y^2]\) 表示不超过 \(1+x^2+y^2\) 的最大整数，计算二重积分

Example

求幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\left[1+\dfrac{1}{n(2n-1)}\right]x^{2n}\) 的收敛区间与和函数 \(f(x)\).

Example

如图，曲线 \(C\) 的方程为 \(y=f(x)\)，点 \((3,2)\) 是它的一个拐点，直线 \(l_1\) 与 \(l_2\) 分别是曲线 \(C\) 在点 \((0,0)\) 与 \((3,2)\) 处的切线，其交点为 \((2,4)\)。设函数 \(f(x)\) 具有三阶连续导数，计算定积分

Example

已知函数 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续，在 \((0,1)\) 内可导，且 \(f(0)=0,\ f(1)=1\)。证明：

(1) 存在 \(\xi\in(0,1)\)，使得 \(f(\xi)=1-\xi\)；

(2) 存在两个不同的点 \(\eta,\zeta\in(0,1)\)，使得 \(f'(\eta)f'(\zeta)=1\)。

Example

设函数 \(\varphi(y)\) 具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 \(L\) 上，曲线积分

的值恒为同一常数。

(1) 证明：对右半平面 \(x>0\) 内的任意分段光滑简单闭曲线 \(C\)，有

(2) 求函数 \(\varphi(y)\) 的表达式。

Example

已知二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)=(1-a)x_1^2+(1-a)x_2^2+2x_3^2+2(1+a)x_1x_2\) 的秩为 \(2\)。

(1) 求 \(a\) 的值；

(2) 求正交变换 \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{y}\)，把 \(f(x_1,x_2,x_3)\) 化成标准形；

(3) 求方程 \(f(x_1,x_2,x_3)=0\) 的解。

Example

已知 \(3\) 阶矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的第一行是 \((a,b,c)\)，\(a,b,c\) 不全为零，矩阵

(\(k\) 为常数 )，且 \(\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{O}\)，求线性方程组 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\) 的通解。

Example

设二维随机变量 \((X,Y)\) 的概率密度为

求：

(1) \((X,Y)\) 的边缘概率密度 \(f_X(x),\ f_Y(y)\)；

(2) \(Z=2X-Y\) 的概率密度 \(f_Z(z)\)。

Example

设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\ (n>2)\) 为来自总体 \(N(0,1)\) 的简单随机样本，\(\overline{X}\) 为样本均值，记 \(Y_i=X_i-\overline{X},\ i=1,2,\cdots,n\)。

求：

(1) \(Y_i\) 的方差 \(D(Y_i),\ i=1,2,\cdots,n\)；

(2) \(Y_1\) 与 \(Y_n\) 的协方差 \(\mathrm{Cov}(Y_1,Y_n)\)。