用概率论求解极限难题
本节带来的是一道非常有难度的极限题目。本题非常经典，做法多样，常见做法有通过带积分余项的泰勒公式结合斯特林公式解决、拉普拉斯方法等，操作难度都非常大，下面分享本题最简单的方法，即通过概率论中的 Lindberg-Lévy 中心极限定理将极限问题转化为一个概率问题。
当然，使用中心极限定理相当于使用了一个“二级结论”，本质还是拉普拉斯方法的应用。
Example
\[
\lim_{ n \to \infty } \frac{1+n+\frac{n^{2}}{2!}+\dots+\frac{n^{n}}{n!}}{\mathrm{e}^{ n }}
\]
设随机变量 \(x_1,x_2,\cdots\) 为相互独立且服从参数 \(\lambda\) 的 \(\mathrm{Poisson}\) 分布
\[
P(x_i = k) = \frac{1}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda}.
\]
根据泊松分布的可加性我们得到，\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i\) 服从参数 \(n\lambda\) 的 \(\mathrm{Poisson}\) 分布，即
\[
P\left(\sum_{i=1}^{n} x_i = k\right) = \frac{(n\lambda)^k}{k!}\mathrm{e}^{-n\lambda}.
\]
因为 \(\displaystyle E\left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right)=n\lambda, D\left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right)=n\lambda\)，由 Lindberg-Lévy 中心极限定理，对任意的 \(x\) 有
\[
\lim_{n \to \infty} P\left(\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i - n\lambda}{\sqrt{n\lambda}} \leqslant x\right)
= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x} \mathrm{e}^{-\frac{t^ 2}{2}} \mathrm{d}t
\]
因为
\[
P\left(\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i - n\lambda}{\sqrt{n\lambda}} \leqslant x\right)
= P\left(\sum_{i=1}^{n} x_i < n\lambda + x\sqrt{n\lambda}\right)
= \sum_{k=0}^{[n\lambda+x\sqrt{n\lambda}]} \frac{(n\lambda)^k}{k!}\mathrm{e}^{-n\lambda}
\]
所以
\[
\lim_{n \to \infty} \mathrm{e}^{-n\lambda}\sum_{k=0}^{[n\lambda+x\sqrt{n\lambda}]} \frac{(n\lambda)^k}{k!}
= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x} \mathrm{e}^{-\frac{t^ 2}{2}} \mathrm{d}t
\]
于是，取 \(x=0,\lambda=1\) 即得到：
\[
\lim_{n\to\infty} \mathrm{e}^{-n}\sum_{k=0}^{n} \frac{n^k}{k!}=\frac 12.
\]
Tip
通过上面这种做法我们得到这个极限其实代表了“一个参数为 \(n\) 的泊松随机变量，其取值小于等于它的平均值 \(n\) 的概率”。根据 Lindberg-Lévy 中心极限定理，这个变量在 \(n\) 很大时趋近于正态分布。而正态分布落在平均值左侧（小于等于平均值）的概率刚好是 \(50\%\)（即 \(1/2\)
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