放缩积分区间
例 1 ¶
Example
设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上二阶连续可微，且 \(f(0)=f(1)=0\)，且对 \(\forall x\in(0,1)\) 有 \(f(x)\neq 0\)，证明：
\[
\int_{0}^{1} \left| \frac{f''(x)}{f(x)} \right| \mathrm{~d} x \geqslant 4
\]
方法 1：放缩积分区间 ¶
由于 \(f(x)\neq 0\)，不妨设 \(f(x)>0\)，根据闭区间连续函数最大最小值定理，结合函数端点值都是 0，所以 \(f(x)\) 的最大值一定在区间 \((0,1)\) 内部取到，不妨设：
\[
M=\max_{0\leqslant x\leqslant 1}f(x)=f(x_{0})
\]
放缩积分区间长度并结合拉格朗日中值定理，得：
\[
\begin{aligned}
\int_{0}^{1} \left| \frac{f''(x)}{f(x)} \right| \mathrm{~d} x &\geqslant \frac{1}{f(x_{0})}\int_{0}^{1} \left| f''(x) \right| \mathrm{~d} x \\
&\geqslant \frac{1}{f(x_{0})}\int_{\xi}^{\eta} \left| f''(x) \right| \mathrm{~d} x \\
&\geqslant \frac{1}{f(x_{0})}\left| \int_{\xi}^{\eta} f''(x) \mathrm{~d} x \right| \\
&\geqslant \frac{1}{f(x_{0})}\left| f'(\eta)-f'(\xi) \right| \\
&= \frac{1}{f(x_{0})} \left| \frac{f(x_{0})-f(0)}{x_{0}-0}- \frac{f(1)-f(x_{0})}{1-x_{0}} \right|\\
&= \frac{1}{f(x_{0})} \left| \frac{f(x_{0})}{x_{0}}+\frac{f(x_{0})}{1-x_{0}} \right| \\
&=\frac{1}{x_{0}(1-x_{0})}\\
&\geqslant 4
\end{aligned}
\]
方法 2：分部积分 ¶
Tip
听过一个段子，说柯朗的两位大前辈，Peter Lax 和 Cathleen Morawetz，有一次被问到对学分析的学生有什么建议或认为重要的工具，结果两个人同时回答道：分部积分。
由于 \(f(x)\neq 0\)，不妨设 \(f(x)>0\)，根据闭区间连续函数最大最小值定理，结合函数端点值都是 0，所以 \(f(x)\) 的最大值一定在区间 \((0,1)\) 内部取到，不妨设：
\[
M=\max_{0\leqslant x\leqslant 1}f(x)=f(x_{0})
\]
逆用牛莱公式，结合分部积分得：
\[
\begin{aligned}
f(x)&=f(x)-f(0)\\
&=\int_{0}^{x} f'(t) \mathrm{~d} t \\
&=tf'(t)\bigg|_{0}^x-\int_{0}^{x} f''(t)t \mathrm{~d} t \\
&= xf'(x)-\int_{0}^{x} f''(t)t \mathrm{~d} t
\end{aligned}
\]
同理：
\[
\begin{aligned}
f(x) &= f(x)-f(1)\\
&= \int_{1}^{x} f'(t) \mathrm{~d} t \\
&= \int_{1}^{x} f'(t) \mathrm{~d} (t-1)\\
&= (t-1)f'(t)\bigg|_{1}^x - \int_{1}^{x} (t-1)f''(t) \mathrm{~d} t \\
&= (x-1)f'(x)-\int_{1}^{x} (t-1)f''(t) \mathrm{~d} t
\end{aligned}
\]
由于目标式子里面没有一阶导，所以我们联立上面得到的两个式子将 \(f'(x)\) 消掉，得：
\[
f(x)=-x\int_{x}^{1} (1-t)f''(t) \mathrm{~d} t - (1-x)\int_{0}^{x} tf''(t) \mathrm{~d} t
\]
取绝对值，放缩得：
\[
\begin{aligned}
\left| f(x) \right| &= \left| x\int_{x}^{1} (1-t)f''(t) \mathrm{~d} t + (1-x)\int_{0}^{x} tf''(t) \mathrm{~d} t \right| \\
&\leqslant x\int_{x}^{1} (1-t)|f''(t)| \mathrm{~d} t +(1-x)\int_{0}^{x} t|f''(t)| \mathrm{~d} t\\
&\leqslant x\int_{x}^{1} (1-x)|f''(t)| \mathrm{~d} t +(1-x)\int_{0}^{x} x|f''(t)| \mathrm{~d} t\\
&= x(1-x)\left[ \int_{x}^{1} |f''(t)| \mathrm{~d} t + \int_{0}^{x} |f''(t)| \mathrm{~d} t \right]\\
& \leqslant \frac{1}{4} \int_{0}^{1} |f''(t)| \mathrm{~d} t
\end{aligned}
\]
即：
\[
\int_{0}^{1} |f''(x)| \mathrm{~d} x \geqslant 4|f(x)|
\]
根据 \(x\) 的任意性，自然对最大值点 \(x_{0}\) 也成立，即 \(\displaystyle \int_{0}^{1} |f''(x)| \mathrm{~d} x\geqslant 4M\)
则根据我们假设的 \(f(x)>0\) 可得：
\[
\begin{aligned}
\int_{0}^{1} \left| \frac{f''(x)}{f(x)} \right| \mathrm{~d} x &= \int_{0}^{1} \frac{\left| f''(x) \right| }{f(x)} \mathrm{~d} x \\
&\geqslant \frac{1}{M}\int_{0}^{1} |f''(x)| \mathrm{~d} x \\
&\geqslant \frac{1}{M}\cdot 4M\\
&= 4
\end{aligned}
\]
得证！
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