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结合二重积分

本节再分享一道和取整函数有关的积分题目，和前几节不同的是，本节是一道二重积分题目！它巧妙地将二重积分的累次积分、分部积分法、以及小数部分函数 \(\{\cdot\}\) 的代数性质有机地融合在了一起。

下面我们一起来看看吧！

例题

Example

求解：

\[ \int_0^1 \int_0^1 x \left ( \frac{1}{1-xy}-\left[ \frac{1}{1-xy}\right] \right ) \mathrm{~d}x\mathrm{d}y \]

其中 \([x]\) 表示不超过 \(x\) 的最大整数。

解：我们可以根据取整函数的性质先将原积分化简：

\[ I = \int_0^1 \int_0^1 x \left\{ \frac{1}{1-xy} \right\} \mathrm{d}x\mathrm{d}y \]

由于取小数函数外面正好乘了一个 \(x\)，这提示我们先对 \(y\) 积分会非常有利于凑微分。 写成累次积分形式：

\[ I = \int_0^1 x \left( \int_0^1 \left\{ \frac{1}{1-xy} \right\} \mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x \]

对内层关于 \(y\) 的积分，令 \(t = xy\)（此时 \(x\) 视为常数），则 \(\mathrm{d}y = \dfrac{1}{x}\mathrm{d}t\)。

  • 当 \(y = 0\) 时，\(t = 0\)；
  • 当 \(y = 1\) 时，\(t = x\)。

代入后，外面的 \(x\) 与 \(\mathrm{d}y\) 带来的 \(\dfrac{1}{x}\) 刚好完美抵消：

\[ I = \int_0^1 \left( \int_0^x \left\{ \frac{1}{1-t} \right\} \mathrm{d}t \right) \mathrm{d}x \]

现在我们得到了一个变上限积分的结构。为了去掉最外层的 \(\mathrm{d}x\)，将内层整体视为变上限函数，对外层应用分部积分法 \(\displaystyle\int u \mathrm{d}v = uv - \int v \mathrm{d}u\)：

  • 令 \(u = \displaystyle\int_0^x \left\{ \frac{1}{1-t} \right\} \mathrm{d}t \implies \mathrm{d}u = \left\{ \frac{1}{1-x} \right\} \mathrm{d}x\)
  • 令 \(\displaystyle\mathrm{d}v = \mathrm{d}x \implies v = x\)

进行分部积分：

\[ I = \left[ x \int_0^x \left\{ \frac{1}{1-t} \right\} \mathrm{d}t \right]_0^1 - \int_0^1 x \left\{ \frac{1}{1-x} \right\} \mathrm{d}x \]

代入上下限 \(1\) 和 \(0\)：

  • 上限 \(x=1\) 时，前项变为 \(\displaystyle1 \cdot \int_0^1 \left\{ \frac{1}{1-t} \right\} \mathrm{d}t\)；
  • 下限 \(x=0\) 时，由于前面乘了 \(x\)，结果为 \(0\)。

至此我们成功将原积分化简为两项单变量定积分之差：

\[ I = \int_0^1 \left\{ \frac{1}{1-t} \right\} \mathrm{d}t - \int_0^1 x \left\{ \frac{1}{1-x} \right\} \mathrm{d}x \]

由于定积分的自变量与字母无关，我们将第一项中的 \(t\) 替换为 \(x\)，然后将两个积分合并：

\[ \begin{aligned} I &= \int_0^1 \left\{ \frac{1}{1-x} \right\} \mathrm{d}x - \int_0^1 x \left\{ \frac{1}{1-x} \right\} \mathrm{d}x \\ &= \int_0^1 (1-x) \left\{ \frac{1}{1-x} \right\} \mathrm{d}x \end{aligned} \]

此时，为了消除讨厌的分母 \(1-x\)，我们使用区间再现公式，得：

\[ I = \int_0^1 x \left\{ \frac{1}{x} \right\} \mathrm{d}x \]

现在原问题就变成了求解这个经典的积分问题了！

剩下的过程相信不用我多说了吧，都是上一小节的内容。

因此本题答案就是：

\[ \boxed{1 - \frac{\pi^2}{12}} \]

Tip

对于二重积分中涉及到取整函数的题目，首先还是按照常规二重积分的处理手段进行处理，也就是先化成累次积分，然后通过换元进行简化，不同于前两天推文的内容，二重积分与取整（取小数）函数结合的题目一般要用到分部积分来去掉一个积分号。而本题通过线性换元和分部积分后，就化归成了上一小节中介绍的经典题目，一脉相承！

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