1987 年

Example

与两直线

都平行，且过原点的平面方程为？

Example

当 \(x =\) ? 时，函数 \(y = x 2 ^ { x }\) 取得极小值。

Example

由曲线 \(y = \ln x\) 与两直线 \(y = (e+1)-x\) 及 \(y = 0\) 所围成的平面图形的面积为 ?

Example

设 \(L\) 为取正向的圆 \(x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 9 .\)，则曲线积分 \(\displaystyle\oint\limits _ { L } ( 2 x y - 2 y ) \mathrm { d } x + \left( x ^ { 2 } - 4 x \right) \mathrm { d } y\) 的值为？

Example

已知 \(3\) 维线性空间的一组基为 \(\pmb { \alpha } _ { 1 } = ( 1 , 1 , 0 ) , \pmb { \alpha } _ { 2 } = ( 1 , 0 , 1 ) , \pmb { \alpha } _ { 3 } = ( 0 , 1 , 1 )\)，则向量 \({ \pmb { \alpha } } = ( 2 , 0 , 0 )\) 在上述基底下的坐标为 ?

Example

求正常数 \(a\) 与 \(b ,\) 使得 \(\displaystyle\operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { 1 } { b x - \sin x } } \int _ { 0 } ^ { x } { \frac { t ^ { 2 } } { \sqrt { a + t ^ { 2 } } } } \mathrm { d } t = 1\) 成立。

Example

设函数 \(f , g\) 连续可微，\(u = f ( x , x y ) , v = g ( x + x y )\) , 求 \(\displaystyle\frac { \partial u } { \partial x } \cdot \frac { \partial v } { \partial x } .\)

Example

设矩阵 \(A\) 与 \(B\) 满足 \(A B = A + 2 B\)，其中 \(A = { \left( \begin{array} { l l l } { 3 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 4 } \end{array} \right) }\) , 求矩阵 \(B\).

Example

求微分方程 \(y ^ { \prime \prime \prime } + 6 y ^ { \prime \prime } + \left( 9 + a ^ { 2 } \right) y ^ { \prime } = 1\) 的通解，其中常数 \(a > 0\)

Example

设常数 \(k > 0\) , 则级数 \(\displaystyle\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } { \frac { k + n } { n ^ { 2 } } }\) ？

(A) 发散

(B) 绝对收敛

(C) 条件收敛

(D) 收敛或发散与 \(k\) 的取值有关

Example

设 \(I = t \displaystyle\int _ { 0 } ^ { \frac { s } { t } } f ( t x ) \mathrm { d } x ,\) 其中 \(f(x)\) 为连续函数，\(s > 0 , t > 0\) , 则 \(I\) 的值？

(A) 依赖于 \(s , t\)

(B) 依赖于 \(s , t , x\)

(C) 依赖于 \(t , x\), 不依赖于 \(s\)

(D) 依赖于 \(s\), 不依赖于 \(t\)

Example

设 \(\displaystyle \lim _ { x \to a } { \frac { f ( x ) - f ( a ) } { ( x - a ) ^ { 2 } } } = - 1\) ，则在点 \(x = a\) 处？

(A) \(f (x)\) 可导且 \(f ^ { \prime } ( a ) \neq 0\)

(B) \(f (x)\) 取得极大值

(C) \(f (x)\) 取得极小值

(D) \(f(x)\) 的导数不存在

Example

设 \(A\) 为 \(n\) 阶矩阵，且 \(| A | = a \neq 0\) ， \(A ^ { * }\) 是 \(A\) 的伴随矩阵 , 则 \(|A^{*}|=\) ？

(A) \(a\)

(B) \(\dfrac { 1 } { a }\)

(C) \(a ^ { n - 1 }\)

(D) \(a ^ { n }\)

Example

求幂级数 \(\displaystyle\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n 2 ^ { n } } } x ^ { n - 1 }\) 的收敛域，并求其和函数 .

Example

计算曲面积分 \(\displaystyle I = \iint_S x(8y + 1)\mathrm{~d}y\mathrm{d}z + 2\left(1 - y^2\right)\mathrm{~d}z\mathrm{d}x - 4yz\mathrm{~d}x\mathrm{d}y\)，其中 \(S\) 是由曲线 \(\begin{cases} z = \sqrt{y - 1},\\ x = 0 \end{cases}\ (1 \leqslant y \leqslant 3)\) 绕 \(y\) 轴旋转一周所成的曲面，它的法向量与 \(y\) 轴正方向的夹角大于 \(\dfrac{\pi}{2}\).

Example

设函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([0,1]\) 上可微，对于 \([0,1]\) 上的每个 \(x\)，函数的值都在区间 \((0,1)\) 内，且 \(f'(x)\neq 1\)，证明：在 \((0,1)\) 内有且仅有一个 \(x\)，使得 \(f(x)=x\).

Example

问 \(a,b\) 为何值时，线性方程组

有唯一解？无解？有无穷多个解？并求出有无穷多个解时的通解 .

Example

假设在一次试验中，事件 \(A\) 发生的概率为 \(p\) ，现进行 \(n\) 次独立试验，则 \(A\) 至少发生一次的概率为 ？，而事件 \(A\) 至多发生一次的概率为 ？.

Example

三个箱子，第一个箱子中有 \(4\) 个黑球 \(1\) 个白球，第二个箱子中有 \(3\) 个黑球 \(3\) 个白球，第三个箱子中有 \(3\) 个黑球 \(5\) 个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出 \(1\) 个球，这个球为白球的概率等于 ？。已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 ？.

Example

已知连续型随机变量 \(X\) 的概率密度为 \(f ( x ) = { \displaystyle\frac { 1 } { \sqrt { \pi } } } \mathrm { e } ^ { - x ^ { 2 } + 2 x - 1 }\)，则 \(X\) 的数学期望为 ？，\(X\) 的方差为 ？.

Example

设随机变量 \(X,Y\) 相互独立，其概率密度函数分别为

求随机变量 \(Z=2X+Y\) 的概率密度函数 \(f_Z(z)\)。