1999 年

Example

\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\left( \frac{1}{x^2}-\frac{1}{x\tan x} \right) =\) ?

Example

\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{0}^{x}\sin(x-t)^2\mathrm{d}t=\) ?

Example

\(\displaystyle y''-4y=\mathrm{e}^{2x}\) 的通解为 \(y=\) ?

Example

设 \(n\) 阶矩阵 \(A\) 的元素全为 \(1\), 则 \(A\) 的 \(n\) 个特征值是 ?

Example

设两两相互独立的三事件 \(A,B\) 和 \(C\) 满足条件 : \(ABC=\varnothing,\ P(A)=P(B)=P(C)<\dfrac{1}{2}\), 且已知 \(P(A\cup B\cup C)=\dfrac{9}{16}\), 则 \(P(A)=\) ?

Example

设 \(f(x)\) 是连续函数 , \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的原函数 , 则 ?

(A) 当 \(f(x)\) 是奇函数时 , \(F(x)\) 必是偶函数 .

(B) 当 \(f(x)\) 是偶函数时 , \(F(x)\) 必是奇函数 .

(C) 当 \(f(x)\) 是周期函数时 , \(F(x)\) 必是周期函数 .

(D) 当 \(f(x)\) 是单调增函数时 , \(F(x)\) 必是单调增函数 .

Example

设

其中 \(g(x)\) 是有界函数 , 则 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处 ?

(A) 极限不存在 .

(B) 极限存在 , 但不连续 .

(C) 连续 , 但不可导 .

(D) 可导 .

Example

设

\(S(x)=\displaystyle\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\cos n\pi x,\ -\infty<x<+\infty\), 其中 \(a_n=2\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\cos n\pi x\,\mathrm{d}x,\ (n=0,1,2,\cdots)\), 则 \(S\left(-\dfrac{5}{2}\right)\) 等于 ?

(A) \(\dfrac{1}{2}\).

(B) \(-\dfrac{1}{2}\).

(C) \(\dfrac{3}{4}\).

(D) \(-\dfrac{3}{4}\).

Example

设 \(A\) 是 \(m\times n\) 矩阵 , \(B\) 是 \(n\times m\) 矩阵 , 则 ?

(A) 当 \(m>n\) 时 , 必有行列式 \(|AB|\neq 0\).

(B) 当 \(m>n\) 时 , 必有行列式 \(|AB|=0\).

(C) 当 \(n>m\) 时 , 必有行列式 \(|AB|\neq 0\).

(D) 当 \(n>m\) 时 , 必有行列式 \(|AB|=0\).

Example

设两个相互独立的随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 分别服从正态分布 \(N(0,1)\) 和 \(N(1,1)\)，则 ?

(A) \(P\{X+Y \leqslant 0\} = \dfrac{1}{2}\).

(B) \(P\{X+Y \leqslant 1\} = \dfrac{1}{2}\).

(C) \(P\{X-Y \leqslant 0\} = \dfrac{1}{2}\).

(D) \(P\{X-Y \leqslant 1\} = \dfrac{1}{2}\).

Example

设 \(y = y(x), z = z(x)\) 是由方程 \(z = xf(x+y)\) 和 \(F(x,y,z) = 0\) 所确定的函数，其中 \(f\) 和 \(F\) 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 \(\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}\).

Example

求 \(\displaystyle I = \int_L \big[\mathrm{e}^x\sin y - b(x+y)\big]\mathrm{d}x + \big(\mathrm{e}^x\cos y - ax\big)\mathrm{d}y\)，其中 \(a,b\) 为正的常数，\(L\) 为从点 \(A(2a,0)\) 沿曲线 \(y = \sqrt{2ax-x^2}\) 到点 \(O(0,0)\) 的弧 .

Example

设函数 \(y(x)\ (x \geqslant 0)\) 二阶可导且 \(y'(x) > 0,\ y(0) = 1\). 过曲线 \(y = y(x)\) 上任意一点 \(P(x,y)\) 作该曲线的切线及 \(x\) 轴的垂线，上述两直线与 \(x\) 轴所围成的三角形的面积记为 \(S_1\)，区间 \([0,x]\) 上以 \(y = y(x)\) 为曲边的曲边梯形面积记为 \(S_2\)，并设 \(2S_1 - S_2\) 恒为 \(1\)，求此曲线 \(y = y(x)\) 的方程 .

Example

试证：当 \(x > 0\) 时，\((x^2-1)\ln x \geqslant (x-1)^2\).

Example

为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口 . 已知井深 \(30\ \mathrm{m}\)，抓斗自重 \(400\ \mathrm{N}\)，缆绳每米重 \(50\ \mathrm{N}\)，抓斗抓起的污泥重 \(2000\ \mathrm{N}\)，提升速度为 \(3\ \mathrm{m/s}\)，在提升过程中，污泥以 \(20\ \mathrm{N/s}\) 的速率从抓斗缝隙中漏掉 . 现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？

Example

设 \(S\) 为椭球面 \(\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{2}+z^2 = 1\) 的上半部分，点 \(P(x,y,z) \in S\)，\(\pi\) 为 \(S\) 在点 \(P\) 处的切平面，\(\rho(x,y,z)\) 为点 \(O(0,0,0)\) 到平面 \(\pi\) 的距离，求 \(\displaystyle \iint_S \dfrac{z}{\rho(x,y,z)}\mathrm{d}S\).

Example

设 \(\displaystyle a_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x\,\mathrm{d}x\)，

(1) 求 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\big(a_n + a_{n+2}\big)\) 的值；

(2) 试证：对任意的常数 \(\lambda > 0\)，级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^{\lambda}}\) 收敛 .

Example

设矩阵 \(A=\begin{pmatrix} a & -1 & c \\ 5 & b & 3 \\ 1-c & 0 & -a \end{pmatrix}\)，其行列式 \(|A|=-1\)，又 \(A\) 的伴随矩阵 \(A^*\) 有一个特征值 \(\lambda_0\)，属于 \(\lambda_0\) 的一个特征向量为 \(\boldsymbol{\alpha}=(-1,-1,1)^\mathrm{T}\)，求 \(a,b,c\) 和 \(\lambda_0\) 的值。

Example

设 \(A\) 为 \(m\) 阶实对称矩阵且正定，\(B\) 为 \(m\times n\) 实矩阵，\(B^\mathrm{T}\) 为 \(B\) 的转置矩阵，试证：\(B^\mathrm{T}AB\) 为正定矩阵的充分必要条件是 \(B\) 的秩 \(r(B)=n\)。

Example

设随机变量 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立，下表列出了二维随机变量 \((X,Y)\) 的联合分布律及关于 \(X\) 和关于 \(Y\) 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。

Example

设总体 \(X\) 的概率密度为

\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是取自总体 \(X\) 的简单随机样本。

(1) 求 \(\theta\) 的矩估计量 \(\hat{\theta}\)；

(2) 求 \(\hat{\theta}\) 的方差 \(D(\hat{\theta})\)。