几个证明题
例 1
Example
设 \(f(x)\) 在 \([0,2\pi]\) 上具有二阶连续导数，且 \(f''(x)\geqslant 0\)，证明：
\[
\int_{0}^{2\pi} f(x)\cos x \mathrm{~d} x \geqslant 0
\]
分部积分 + 逆用牛莱：
\[
\begin{aligned}
I &= \int_{0}^{2\pi} f(x) \mathrm{~d} \sin x\\
&= \sin xf(x)\bigg|_{0}^{2\pi} - \int_{0}^{2\pi} \sin xf'(x) \mathrm{~d} x \\
&= \int_{0}^{2\pi} f'(x) \mathrm{~d} \cos x \\
&= f'(x)\cos x\bigg|_{0}^{2\pi} - \int_{0}^{2\pi} f''(x)\cos x \mathrm{~d} x \\
&= {\color{red}{f'(2\pi)-f'(0)}} - \int_{0}^{2\pi} f''(x)\cos x \mathrm{~d} x \\
&= \int_{0}^{2\pi} f''(x) \mathrm{~d} x -\int_{0}^{2\pi} f''(x)\cos x \mathrm{~d} x \\
&= \int_{0}^{2\pi} f''(x)(1-\cos x) \mathrm{~d} x \\
&\geqslant 0
\end{aligned}
\]
例 2
Example
设函数 \(f(x)\) 在区间 \([0,1]\) 上可导，且 \(|f'(x)| < M\)，证明：
\[
\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x - \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left( \frac{k}{n} \right) \right| \leqslant \frac{M}{2n}
\]
区间离散化，纯套路题。
\[
\begin{aligned}
LHS &= \left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x - \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left( \frac{k}{n} \right) \right|\\
&= \left| \sum_{k=1}^{n} \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} f(x) \mathrm{~d} x - \sum_{k=1}^{n} \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} f\left( \frac{k}{n} \right) \mathrm{~d} x \right| \\
&= \left| \sum_{k=1}^{n} \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} \left[ f(x)-f\left( \frac{k}{n} \right) \right] \mathrm{~d} x \right| \\
&\leqslant \sum_{k=1}^{n} \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} \left| f(x)-f\left( \frac{k}{n} \right) \right| \mathrm{~d} x \\
&= \sum_{k=1}^{n} \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} \left|f'(\xi_{k})\left( x-\frac{k}{n} \right)\right| \mathrm{~d} x \quad\quad \xi_{k}\in\left( x, \frac{k}{n} \right)\\
&\leqslant \sum_{k=1}^{n} \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} M\left| x-\frac{k}{n} \right| \mathrm{~d} x\\
&=M\sum_{k=1}^{n} \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} \left( \frac{k}{n}-x \right) \mathrm{~d} x \\
&= M \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{k}{n}\cdot \frac{1}{n} - \frac{2k-1}{2n^{2}} \right)\\
&= M\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2n^{2}}\\
&=\frac{M}{2n}
\end{aligned}
\]
例 3
Example
设 \(f(x)\) 满足 \(f(1)=1\)，\(f'(x)=\dfrac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}(x\geqslant1)\)，证明：\(\displaystyle \lim_{ x \to +\infty }f(x)\) 存在且不超过 \(1+\dfrac{\pi}{4}\).
当 \(x\geqslant 1\) 时，显然有 \(f'(x)=\dfrac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}>0\)，因此 \(f(x)\) 在 \([1,+\infty)\) 上单调递增，所以 \(x\geqslant1\) 时，\(f(x)\geqslant f(1)=1\)，接下来考虑逆用牛莱公式构建原函数和导函数之间的关系：
\[
\begin{aligned}
f(x)-f(1) &= \int_{1}^{x} f'(x) \mathrm{~d} x \\
&= \int_{1}^{x} \frac{1}{x^{2}+f^{2}(x)} \mathrm{~d} x \\
&\leqslant \int_{1}^{x} \frac{1}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x \\
&= \arctan x- \frac{\pi}{4}\\
&\leqslant \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\\
&= \frac{\pi}{4}
\end{aligned}
\]
移项得：\(f(x)\leqslant 1+\dfrac{\pi}{4}\)，单调递增且有上界，根据单调有界准则可知：极限存在，且极限值不超过 \(1+\dfrac{\pi}{4}\).
例 4
Example
设 \(f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 内连续且单调减少，证明：
\[
\int_{1}^{n+1} f(x) \mathrm{~d} x \leqslant \sum_{k=1}^{n} f(k)\leqslant f(1)+\int_{1}^{n} f(x) \mathrm{~d} x
\]
考虑所有长度为 1 的区间，由于 \(f(x)\) 单调递减，所以当 \(x\in [1,2]\) 时，\(f(2)<f(x)<f(1)\)，积分得：
\[
f(2)\leqslant\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{~d} x \leqslant f(1)
\]
同理有：
\[
f(k)\leqslant\int_{k-1}^{k} f(x) \mathrm{~d} x \leqslant f(k-1)
\]
左边累加得：
\[
\sum_{k=2}^{n} f(k)\leqslant\sum_{k=2}^{n} \int_{k-1}^{k} f(x) \mathrm{~d} x = \int_{1}^{n} f(x) \mathrm{~d} x
\]
所以有：
\[
\sum_{k=1}^{n} f(k)\leqslant f(1)+\int_{1}^{n} f(x) \mathrm{~d} x
\]
右边累加得：
\[
\sum_{k=2}^{n+1} \int_{k-1}^{k} f(x) \mathrm{~d} x=\int_{1}^{n+1} f(x) \mathrm{~d} x \leqslant \sum_{k=2}^{n+1} f(k-1)=\sum_{k=1}^{n} f(k)
\]
综上得证。
例 5
Example
设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续且单调减少，证明：当 \(0<k<1\) 时，有：
\[
\int_{0}^{k} f(x) \mathrm{~d} x \geqslant k\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x
\]
换元统一积分限，令 \(x:=kx\)，则：
\[
\int_{0}^{k} f(x) \mathrm{~d} x = k\int_{0}^{1} f(kx) \mathrm{~d} x
\]
所以只需要证明：
\[
\int_{0}^{1} f(kx) \mathrm{~d} x \geqslant \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x
\]
即证：\(f(kx)\geqslant f(x)\)，由于 \(kx\leqslant x\) 且 \(f(x)\) 在区间 \([0,1]\) 上单调递减，所以得证。
例 6
Example
设 \(f(x)\) 有界，且 \(f'(x)\) 连续，对任意的 \(x\in(-\infty,+\infty)\) 有 \(|f(x)+f'(x)|\leqslant1\)，证明：
\[
|f(x)|\leqslant 1
\]
看到题目条件出现导函数 + 原函数，立马想到构造辅助函数：\(F(x)=\mathrm{e}^{ x }f(x)\)，则 \(F'(x)=\mathrm{e}^{ x }(f(x)+f'(x))\)，所以根据条件可得：
\[
|F'(x)|=\mathrm{e}^{ x }|f(x)+f'(x)|\leqslant \mathrm{e}^{ x }
\]
由于 \(f(x)\) 有界，因此 \(\displaystyle \lim_{ x \to -\infty }F(x)=\lim_{ x \to -\infty }\mathrm{e}^{ x }f(x)=0\)，则逆用牛莱公式：
\[
F(x)-F(-\infty)=\int_{-\infty}^{x} F'(x) \mathrm{~d} x
\]
即：\(F(x)=\displaystyle \int_{-\infty}^{x} F'(x) \mathrm{~d} x\)，取绝对值得：
\[
\begin{aligned}
|F(x)|&=\left| \int_{-\infty}^{x} F'(x) \mathrm{~d} x \right| \\
&\leqslant \int_{-\infty}^{x} |F'(x)| \mathrm{~d} x \\
&\leqslant \int_{-\infty}^{x} \mathrm{e}^{ x } \mathrm{~d} x \\
&= \mathrm{e}^{ x }
\end{aligned}
\]
即：\(|F(x)|=\mathrm{e}^{ x }|f(x)|\leqslant \mathrm{e}^{ x }\)，故 \(|f(x)|\leqslant 1\)
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