三角形式
前两节我讲解了 Beta 函数的一般形式与常用技巧，比如面对复杂级数时，可借助 Beta 函数将级数问题转化为积分来求解。平时翻看三角积分相关内容，常会看到不少大佬直言 “用 Beta 函数直接秒杀”。本节我们就来梳理三角积分与 Beta 函数的内在联系，这也就是大家熟知的高阶 \(\mathrm{Wallis}\) 公式。
公式
三角形式
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^p \theta \cos^q \theta \, \mathrm{d}\theta = \frac{1}{2} \mathrm{B}\left( \frac{p+1}{2}, \frac{q+1}{2} \right)
\]
下面让我们来一步步证明这个贝塔函数与三角函数定积分的恒等式：
回顾贝塔函数的定义，贝塔函数的标准形式为：
\[
\mathrm{B}(p,q) = \int_{0}^{1} x^{p-1} (1-x)^{q-1} \, \mathrm{d}t, \quad p>0, q>0
\]
我们的目标是通过变量代换，把公式左边的三角函数积分转化成这个形式。
令： \(t = \sin^2 \theta\) 则，当 \(\theta=0\) 时，\(t=0\)；当 \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) 时，\(t=1\)，积分上下限与贝塔函数完全一致。
由
\[
\mathrm{d}t = 2\sin\theta \cos\theta \, \mathrm{d}\theta
\]
得：
\[
\mathrm{d}\theta = \dfrac{\mathrm{d}t}{2\sin\theta \cos\theta}
\]
代入并化简被积函数，将 \(\sin\theta\)、\(\cos\theta\) 用 \(t\) 表示：
- \(\sin\theta = t^{\frac{1}{2}}\)
- \(\cos\theta = \sqrt{1-t} = (1-t)^{\frac{1}{2}}\)
代入原积分：
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^p \theta \cos^q \theta \, \mathrm{d}\theta = \int_{0}^{1} \left(t^{\frac{1}{2}}\right)^p \cdot \left((1-t)^{\frac{1}{2}}\right)^q \cdot \frac{\mathrm{d}t}{2 t^{\frac{1}{2}} (1-t)^{\frac{1}{2}}}
\]
化简：
\[
\begin{aligned}LHS &= \int_{0}^{1} t^{\frac{p}{2}} (1-t)^{\frac{q}{2}} \cdot \frac{1}{2} t^{-\frac{1}{2}} (1-t)^{-\frac{1}{2}} \, \mathrm{d}t\\
& = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} t^{\frac{p-1}{2}} (1-t)^{\frac{q-1}{2}} \, \mathrm{d}t \\
& = \frac12 \mathrm{B}\left( \frac{p+1}{2}, \frac{q+1}{2} \right)
\end{aligned}
\]
例题
Example
\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\tan\theta} \, \mathrm{d}\theta\)
解：
\[
\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\tan\theta} \, \mathrm{d}\theta &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}} \, \mathrm{d}\theta \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{\frac{1}{2}}\theta \cos^{-\frac{1}{2}}\theta \, \mathrm{d}\theta \\ &= \frac{1}{2} B\left( \frac{\frac{1}{2}+1}{2}, \frac{-\frac{1}{2}+1}{2} \right) \\ &= \frac{1}{2} B\left( \frac{3}{4}, \frac{1}{4} \right) \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{\Gamma\left( \frac{3}{4} \right) \Gamma\left( \frac{1}{4} \right)}{\Gamma\left( \frac{3}{4}+\frac{1}{4} \right)} \\ &\xlongequal{余元公式} \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\pi}{\sin\frac{\pi}{4}}}{\Gamma(1)} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ &= \frac{\pi}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}\pi \end{aligned}
\]
Tip
由于 Beta 函数的具体值的求解一般都需要用到 \(\Gamma\) 函数，所以 \(\Gamma\) 函数的性质，如余元公式，递推关系等都需要熟练掌握！
高阶 Wallis 公式
将 Beta 函数的计算表达式代入化简，我们可以得到更为初等的积分结果，也就是大家平时做题常用的“高阶 Wallis 公式”
1 倍区间
\[
I(m,n)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{m}x\sin ^{n}x \mathrm{~d} x =
\begin{cases}
\displaystyle \frac{(m-1)!!\, (n-1)!!}{(m+n)!!}\cdot \frac{\pi}{2}, & m和n均为偶数 \\[6pt]
\displaystyle \frac{(m-1)!!\, (n-1)!!}{(m+n)!!}, & \text{其他情况}
\end{cases}
\]
2 倍区间
\[
\int_{0}^{\pi} \cos ^{m}x\sin ^{n}x \mathrm{~d} x =
\begin{cases}
0, & m为奇数 \\[6pt]
2I(m,n), & m为偶数
\end{cases}
\]
4 倍区间
\[
\int_{0}^{2\pi} \cos ^{m}x\sin ^{n}x \mathrm{~d} x =
\begin{cases}
0, & m和n不全为偶数 \\[6pt]
4I(m,n), & m和n均为偶数
\end{cases}
\]
习题
Q1
Question
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\sqrt{ \sin x\cos x } \mathrm{~d} x
\]
Answer
\(\displaystyle I= \frac{\pi}{4\sqrt{ 2 }}\)
如果不想使用 Beta 函数可以试一试区间再现 ~
Q2
Question
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[3]{ \tan x }}{(\sin x+\cos x)^{2}} \mathrm{~d} x
\]
Answer
\(\displaystyle I= \frac{2\sqrt{ 3 }\pi}{9}\)
- 嘻嘻，其实要用到下一小节的分式形式 Beta 函数，被骗了吧！
- 不用 Beta 函数的方法：凑 \(\mathrm{~d} \tan x\)，然后根式换元结合倒代换即可。
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