2010 年
第 1 题 ¶
Example
极限 \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left[\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}\right]^x =\) ?
(A) \(1\).
(B) \(\mathrm{e}\).
(C) \(\mathrm{e}^{a-b}\).
(D) \(\mathrm{e}^{b-a}\).
\(1^{\infty}\) 型套路题。选 C。
第 2 题 ¶
Example
设函数 \(z=z(x,y)\) 由方程 \(F\left(\dfrac{y}{x},\dfrac{z}{x}\right)=0\) 确定 , 其中 \(F\) 为可微函数 , 且 \(F_2'\neq 0\), 则 \(\displaystyle x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=\) ?
(A) \(x\).
(B) \(z\).
(C) \(-x\).
(D) \(-z\).
全微分即可。选 B。
第 3 题 ¶
Example
设 \(m,n\) 均是正整数 , 则反常积分 \(\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\sqrt[m]{\ln^2(1-x)}}{\sqrt[n]{x}}\mathrm{d}x\) 的收敛性 ?
(A) 仅与 \(m\) 的取值有关 .
(B) 仅与 \(n\) 的取值有关 .
(C) 与 \(m,n\) 的取值都有关 .
(D) 与 \(m,n\) 的取值都无关 .
显然 \(x=0\) 和 \(x=1\) 都是瑕点，且熟知结论：
结合 \(m,n\) 均为正整数即可解决。选 D。
Tip
当然在讨论 \(x=1\) 这个瑕点的时候，做换元 \(1-x=\mathrm{e}^{ -t }\) 也是可以很容易得出敛散性的。
第 4 题 ¶
Example
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{n}{(n+i)(n^2+j^2)}=\) ?
(A) \(\displaystyle \int_{0}^{1}\mathrm{d}x\int_{0}^{x}\frac{1}{(1+x)(1+y^2)}\mathrm{d}y\).
(B) \(\displaystyle \int_{0}^{1}\mathrm{d}x\int_{0}^{x}\frac{1}{(1+x)(1+y)}\mathrm{d}y\).
(C) \(\displaystyle \int_{0}^{1}\mathrm{d}x\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+x)(1+y)}\mathrm{d}y\).
(D) \(\displaystyle \int_{0}^{1}\mathrm{d}x\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+x)(1+y^2)}\mathrm{d}y\).
考察二重积分的定义，没有难度。建议做一下26 年数二第 7 题加深对这类题的掌握。选 D。
第 5 题 ¶
Example
设 \(A\) 为 \(m\times n\) 矩阵 , \(B\) 为 \(n\times m\) 矩阵 , \(E\) 为 \(m\) 阶单位矩阵 , 若 \(AB=E\), 则 ?
(A) 秩 \(r(A)=m\), 秩 \(r(B)=m\).
(B) 秩 \(r(A)=m\), 秩 \(r(B)=n\).
(C) 秩 \(r(A)=n\), 秩 \(r(B)=m\).
(D) 秩 \(r(A)=n\), 秩 \(r(B)=n\).
利用秩的基本性质即可。选 A。
如果对常用矩阵秩的性质不熟悉的话可以参考往期文章：矩阵秩大总结
第 6 题 ¶
Example
设 \(A\) 为 \(4\) 阶实对称矩阵 , 且 \(A^2+A=O\). 若 \(A\) 的秩为 \(3\), 则 \(A\) 相似于 ?
(A) \(\begin{pmatrix} 1&&&\\ &1&&\\ &&1&\\ &&&0 \end{pmatrix}\).
(B) \(\begin{pmatrix} 1&&&\\ &1&&\\ &&-1&\\ &&&0 \end{pmatrix}\).
(C) \(\begin{pmatrix} 1&&&\\ &-1&&\\ &&-1&\\ &&&0 \end{pmatrix}\).
(D) \(\begin{pmatrix} -1&&&\\ &-1&&\\ &&-1&\\ &&&0 \end{pmatrix}\).
首先求出特征值只有 \(0\) 和 \(-1\) 这两个，再根据秩为 \(3\) 得到 \(-1\) 是三重根。选 D。
第 7 题 ¶
Example
设随机变量 \(X\) 的分布函数
则 \(P\{X=1\}=\) ?
(A) \(0\).
(B) \(\dfrac{1}{2}\).
(C) \(\dfrac{1}{2}-\mathrm{e}^{-1}\).
(D) \(1-\mathrm{e}^{-1}\).
考察一点处的概率，扣点即可。选 C。
第 8 题 ¶
Example
设 \(f_1(x)\) 为标准正态分布的概率密度 , \(f_2(x)\) 为 \([-1,3]\) 上均匀分布的概率密度 , 若
为概率密度 , 则 \(a,b\) 应满足 ?
(A) \(2a+3b=4\).
(B) \(3a+2b=4\).
(C) \(a+b=1\).
(D) \(a+b=2\).
根据概率密度函数的规范性即可得出结论。选 A。
第 9 题 ¶
Example
设
则 \(\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}\right|_{t=0}=\) ?
参数方程求导，由于函数比较简单，两次求导或者直接套用参数方程二阶导公式都是可以的。
第 10 题 ¶
Example
\(\displaystyle\int_{0}^{\pi^2}\sqrt{x}\cos\sqrt{x}\,\mathrm{d}x=\) ?
换元。
第 11 题 ¶
Example
已知曲线 \(L\) 的方程为 \(y=1-|x|\ (x\in[-1,1])\)，起点是 \((-1,0)\)，终点为 \((1,0)\)，则曲线积分 \(\displaystyle\int_{L}xy\,\mathrm{d}x+x^2\,\mathrm{d}y=\) ?
补线加格林，注意对称性。
第 12 题 ¶
Example
设 \(\Omega=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\leqslant z\leqslant 1\}\)，则 \(\Omega\) 形心的竖坐标 \(\overline{z}=\) ?
套公式，三重积分采用截面法计算。
第 13 题 ¶
Example
设 \(\boldsymbol{\alpha}_1=(1,2,-1,0)^\mathrm{T},\boldsymbol{\alpha}_2=(1,1,0,2)^\mathrm{T},\boldsymbol{\alpha}_3=(2,1,1,a)^\mathrm{T}\)。若由 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3\) 生成的向量空间的维数为 \(2\)，则 \(a=\) ?
初等行变换。
第 14 题 ¶
Example
设随机变量 \(X\) 的概率分布为 \(P\{X=k\}=\dfrac{C}{k!},\ k=0,1,2,\cdots\)，则 \(E(X^2)=\) ?
对比 \(\mathrm{Poisson}\) 分布即可发现 \(X\sim P(1)\)。
第 15 题 ¶
Example
求微分方程 \(y''-3y'+2y=2x\mathrm{e}^{x}\) 的通解 .
基础题。
第 16 题 ¶
Example
求函数 \(f(x)=\displaystyle\int_{1}^{x^2}(x^2-t)\mathrm{e}^{-t^2}\mathrm{d}t\) 的单调区间与极值 .
基础题，被积函数含有 \(x\)，直接使用含参变量积分求导公式即可：
第 17 题 ¶
Example
(1) 比较 \(\displaystyle\int_{0}^{1}|\ln t|\big[\ln(1+t)\big]^n\mathrm{d}t\) 与 \(\displaystyle\int_{0}^{1}t^n|\ln t|\mathrm{d}t\ (n=1,2,\cdots)\) 的大小 , 说明理由 ;
(2) 记 \(u_n=\displaystyle\int_{0}^{1}|\ln t|\big[\ln(1+t)\big]^n\mathrm{d}t\ (n=1,2,\cdots)\), 求极限 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}u_n\).
第一问直接根据常用不等式即可解决。
第二问根据第一问的上界，使用分部积分后结合迫敛性即可。
第 18 题 ¶
Example
求幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}x^{2n}\) 的收敛域及和函数 .
送分题。
第 19 题 ¶
Example
设 \(P\) 为椭球面 \(S: x^2+y^2+z^2-yz=1\) 上的动点 , 若 \(S\) 在点 \(P\) 处的切平面与 \(xOy\) 面垂直 , 求点 \(P\) 的轨迹 \(C\), 并计算曲面积分
其中 \(\Sigma\) 是椭球面 \(S\) 位于曲线 \(C\) 上方的部分 .
非常好的一道一型曲面积分题目。首先求出点 \(P\) 的轨迹，根据“取上方部分”得到 \(z>y\) 从而去掉绝对值。
注意到待求积分的分母非常复杂，这就启发我们这部分一定能通过 \(\mathrm{~d} S\) 的表达式消去，整个思路是非常清晰的。
第 20 题 ¶
Example
设\(A=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix},\ \boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}a\\1\\1\end{pmatrix}\) . 已知线性方程组 \(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\) 存在 \(2\) 个不同的解 .
(1) 求 \(\lambda,a\);
(2) 求方程组 \(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\) 的通解 .
第一问，由于有两个不同的解，从而得到有无穷组解，故 \(r(\overline{A})=r(A)<n=3\)，即 \(|A|=0\)。
第二问，没啥说的。
第 21 题 ¶
Example
已知二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x}\) 在正交变换 \(\boldsymbol{x}=Q\boldsymbol{y}\) 下的标准形为 \(y_1^2+y_2^2\), 且 \(Q\) 的第三列为 \(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},0,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^\mathrm{T}\).
(1) 求矩阵 \(A\);
(2) 证明 \(A+E\) 为正定矩阵 , 其中 \(E\) 为 \(3\) 阶单位矩阵 .
第一问，根据 \(Q\) 的第三列得到 \(\lambda_{3}=0\) 对应的特征向量，所以直接谱分解即可。不会谱分解的看我 07 年数一解析即可。
第二问，根据特征值判断即可。
第 22 题 ¶
Example
设二维随机变量 \((X,Y)\) 的概率密度为
求常数 \(A\) 及条件概率密度 \(f_{Y|X}(y\mid x)\).
第一问，把题目给的联合概率密度函数“拆”成两个正态的乘积即可，从而得到 \(X-Y\) 与 \(X\) 独立（本题用不到
第二问，先求出 \(X\) 的边缘概率密度函数，计算时注意还是凑正态，避免复杂计算。后续根据公式计算条件概率密度即可。
第 23 题 ¶
Example
设总体 \(X\) 的概率分布为
其中参数 \(\theta\in(0,1)\) 未知 . 以 \(N_i\) 表示来自总体 \(X\) 的简单随机样本 ( 样本容量为 \(n\)) 中等于 \(i\) 的个数 \((i=1,2,3)\). 试求常数 \(a_1,a_2,a_3\), 使 \(T=\displaystyle\sum_{i=1}^{3}a_iN_i\) 为 \(\theta\) 的无偏估计量 , 并求 \(T\) 的方差 .
本质考察多项分布。根据多项分布的边缘是二项分布（或直接理解题意）得到 \(N_{i}\) 的服从的分布。根据无偏性求出 \(a_{i}\)。最后根据 \(T=\dfrac{1}{n}(N_{2}+N_{3})=\dfrac{1}{n}(n-N_{1})\) 计算 \(D(T)\) 即可。
Tip
当然根据 \(T=\dfrac{1}{n}(N_{2}+N_{3})\) 来计算方差也是可以的，但是由于 \(N_{2}\) 和 \(N_{3}\) 不是独立的，所以需要使用到多项分布的性质： \(\operatorname{Cov}(N_{2},N_{3})=-np_{2}p_{3}=-n(\theta-\theta^{2})\theta^{2}\)，而非数同学大概率是没有学过多项分布的，所以不建议使用这种方法。
以上就是对于 2010 年数一真题的全部解答，中规中矩的一套真题，选择题部分唯一值得注意的是第 3 题，非常好的一道反常积分敛散性判断题目；其次是第 4 题，首次考察二重积分的定义；大题部分，第 19 题是一道质量非常高的一型曲面积分问题，好好复盘；第 21 题使用谱分解即可实现 0 计算量，需要熟练掌握；第 22 题使用正确的计算方法也可以口算；第 23 题本质考察多项分布，学有余力的同学可以自行了解并推导该分布的相关性质。
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