1988 年

Example

求幂级数 \(\displaystyle\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( x - 3 ) ^ { n } } { n \cdot 3 ^ { n } } }\) 的收敛域。

Example

已知 \(f ( x ) = \mathrm{e} ^ { x ^ { 2 } } , f [ \varphi ( x ) ] = 1 - x\) , 且 \(\varphi ( x ) \geqslant 0\)，求 \(\varphi ( x )\)，并写出其定义域。

Example

设 \(S\) 为曲面 \(x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \ = \ 1\) 的外侧，计算曲面积分 \(I =\displaystyle\operatorname{\subset\!\!\!\!\!\!\!\iint\!\!\!\!\!\!\!\supset}\limits_{ S } x ^ { 3 } \mathrm { d } y \mathrm { d } z +y ^ { 3 } \mathrm { d } z \mathrm { d } x + z ^ { 3 } \mathrm { d } x \mathrm { d } y\).

Example

设 \(\displaystyle f(t)=\lim_{x\to\infty} t\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2tx}\)，则 \(f'(t)=\) ?

Example

设 \(f(x)\) 是周期为 \(2\) 的周期函数，它在区间 \((-1,1]\) 上的表达式为

则 \(f(x)\) 的傅里叶级数在 \(x=1\) 处收敛于

Example

设 \(f(x)\) 是连续函数，且 \(\displaystyle \int_{0}^{x^3-1} f(t)\mathrm{d}t = x\)，则 \(f(7)=\) ?

Example

设 4 阶矩阵 \(A=(\alpha,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4),\ B=(\beta,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4)\)，其中 \(\alpha,\beta,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4\) 都是 4 维列向量，且 \(|A|=4,\ |B|=1\)，则 \(|A+B|=\) ?

Example

若函数 \(y = f(x)\) 可导，且 \(f'(x_0) = \dfrac{1}{2}\)，则当 \(\Delta x \to 0\) 时，函数 \(f(x)\) 在 \(x = x_0\) 处的微分 \(\mathrm{d}y\) 是 ?

(A) 与 \(\Delta x\) 等价的无穷小

(B) 与 \(\Delta x\) 同阶的无穷小

(C) 比 \(\Delta x\) 低阶的无穷小

(D) 比 \(\Delta x\) 高阶的无穷小

Example

设 \(y = f(x)\) 是微分方程 \(y'' - 2y' + 4y = 0\) 的一个解，若 \(f(x_0) > 0\) 且 \(f'(x_0) = 0\)，则函数 \(f(x)\) 在 \(x = x_0\) 处 ?

(A) 取得极大值

(B) 取得极小值

(C) 某邻域内单调增加

(D) 某邻域内单调减少

Example

设空间区域 \(\Omega_1:x^2+y^2+z^2\leqslant R^2\ (z\geqslant 0);\ \Omega_2:x^2+y^2+z^2\leqslant R^2\ (x\geqslant 0,y\geqslant 0,z\geqslant 0)\)，则 ?

(A) \(\displaystyle \iiint_{\Omega_1} x\,\mathrm{d}v = 4\iiint_{\Omega_2} x\,\mathrm{d}v\)

(B) \(\displaystyle \iiint_{\Omega_1} y\,\mathrm{d}v = 4\iiint_{\Omega_2} y\,\mathrm{d}v\)

(C) \(\displaystyle \iiint_{\Omega_1} z\,\mathrm{d}v = 4\iiint_{\Omega_2} z\,\mathrm{d}v\)

(D) \(\displaystyle \iiint_{\Omega_1} xyz\,\mathrm{d}v = 4\iiint_{\Omega_2} xyz\,\mathrm{d}v\)

Example

若级数 \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-1)^n\) 在 \(x=-1\) 处收敛，则该级数在 \(x=2\) 处 ？

(A) 条件收敛

(B) 绝对收敛

(C) 发散

(D) 收敛性不确定

Example

\(n\) 维向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s\ (3\leqslant s\leqslant n)\) 线性无关的充分必要条件是 ？

(A) 有一组不全为零的数 \(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得 \(k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s\boldsymbol{\alpha}_s\ne \boldsymbol{0}\)

(B) \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s\) 中任意两个向量都线性无关

(C) \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s\) 中存在一个向量，它不可由其余向量线性表示

(D) \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s\) 中任意一个向量都不可由其余向量线性表示

Example

设 \(\displaystyle u = yf\left(\frac{x}{y}\right) + xg\left(\frac{y}{x}\right)\)，其中 \(f,g\) 具有二阶连续导数，求 \(\displaystyle x\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + y\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}\).

Example

设函数 \(y=y(x)\) 满足微分方程 \(y''-3y'+2y=2\mathrm{e}^x\)，且其图形在点 \((0,1)\) 处的切线与曲线 \(y=x^2-x+1\) 在该点的切线重合，求函数 \(y=y(x)\).

Example

设位于点 \((0,1)\) 的质点 \(A\) 对质点 \(M\) 的引力大小为 \(\dfrac{k}{r^2}\)（\(k>0\) 为常数，\(r\) 为质点 \(A\) 与质点 \(M\) 之间的距离），质点 \(M\) 沿曲线 \(y=\sqrt{2x-x^2}\) 从点 \(B(2,0)\) 运动到点 \(O(0,0)\)，求此运动过程中质点 \(A\) 对质点 \(M\) 的引力所做的功。

Example

已知 \(AP=PB\)，其中

求 \(A\) 及 \(A^5\).

Example

已知矩阵

相似 .

(1) 求 \(x,y\);

(2) 求一个满足 \(P^{-1}AP=B\) 的可逆矩阵 \(P\).

Example

设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续，且在 \((a,b)\) 内有 \(f'(x) > 0\)。证明：在 \((a,b)\) 内存在唯一的 \(\xi\)，使曲线 \(y = f(x)\) 与两直线 \(y = f(\xi),\ x = a\) 所围成的平面图形的面积 \(S_1\) 是曲线 \(y = f(x)\) 与两直线 \(y = f(\xi),\ x = b\) 所围成平面图形面积 \(S_2\) 的 \(3\) 倍。

Example

设三次独立重复试验中，事件 \(A\) 出现的概率相等，若已知 \(A\) 至少出现一次的概率为 \(\dfrac{19}{27}\)，则事件 \(A\) 在一次试验中出现的概率为 ?

Example

在区间 \((0,1)\) 中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 \(\dfrac{6}{5}\)”的概率为 ？

Example

设随机变量 \(X\) 服从均值为 \(10\)，均方差为 \(0.02\) 的正态分布，已知 \(\Phi(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{-\infty}^{x}\mathrm{e}^{-\frac{u^2}{2}}\mathrm{d}u,\ \Phi(2.5) = 0.9938\)，则 \(X\) 落在区间 \((9.95,10.05)\) 内的概率为 ？

Example

设随机变量 \(X\) 的概率密度函数为 \(f_X(x) = \dfrac{1}{\pi(1+x^2)}\)，求随机变量 \(Y = 1-\sqrt[3]{X}\) 的概率密度函数 \(f_Y(y)\).