2001 年

Example

设 \(y=\mathrm{e}^{x}\left(C_{1}\sin x+C_{2}\cos x\right)\) (\(C_1,C_2\) 为任意常数 ) 为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解 , 则该方程为 ?

Example

设 \(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\), 则 \(\left.\operatorname{div}(\operatorname{grad}\,r)\right|_{(1,-2,2)}=\) ?

Example

交换二次积分的积分次序 : \(\displaystyle \int_{-1}^{0}\mathrm{d}y\int_{2}^{1-y}f(x,y)\mathrm{d}x=\) ?

Example

设矩阵 \(A\) 满足 \(A^2+A-4E=O\), 其中 \(E\) 为单位矩阵 , 则 \((A-E)^{-1}=\) ?

Example

设随机变量 \(X\) 的方差为 \(2\), 则根据切比雪夫不等式有估计 \(P\{|X-E(X)|\geqslant 2\}\leqslant\) ?

Example

设函数 \(f(x)\) 在定义域内可导 , \(y=f(x)\) 的图形如右图所示 , 则导函数 \(y=f'(x)\) 的图形为 ?

Example

设函数 \(f(x,y)\) 在点 \((0,0)\) 附近有定义 , 且 \(f_x'(0,0)=3,\,f_y'(0,0)=1\), 则 ?

(A) \(\mathrm{d}z\big|_{(0,0)}=3\,\mathrm{d}x+\mathrm{d}y\).

(B) 曲面 \(z=f(x,y)\) 在点 \((0,0,f(0,0))\) 的法向量为 \((3,1,1)\).

(C) 曲线 \(\begin{cases} z=f(x,y),\\ y=0 \end{cases}\) 在点 \((0,0,f(0,0))\) 的切向量为 \((1,0,3)\).

(D) 曲线 \(\begin{cases} z=f(x,y),\\ y=0 \end{cases}\) 在点 \((0,0,f(0,0))\) 的切向量为 \((3,0,1)\).

Example

设 \(f(0)=0\), 则 \(f(x)\) 在点 \(x=0\) 可导的充要条件为 ?

(A) \(\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{1}{h^2}f(1-\cos h)\) 存在 .

(B) \(\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{1}{h}f\left(1-\mathrm{e}^h\right)\) 存在 .

(C) \(\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{1}{h^2}f(h-\sin h)\) 存在 .

(D) \(\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\big[f(2h)-f(h)\big]\) 存在 .

Example

设

则 \(A\) 与 \(B\) ?

(A) 合同且相似 .

(B) 合同但不相似 .

(C) 不合同但相似 .

(D) 不合同且不相似 .

Example

将一枚硬币重复掷 \(n\) 次 , 以 \(X\) 和 \(Y\) 分别表示正面向上和反面向上的次数 , 则 \(X\) 和 \(Y\) 的相关系数等于 ?

(A) \(-1\)

(B) \(0\)

(C) \(\dfrac{1}{2}\)

(D) \(1\)

Example

求 \(\displaystyle \int \frac{\arctan \mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{2x}}\mathrm{d}x\).

Example

设函数 \(z=f(x,y)\) 在点 \((1,1)\) 处可微 , 且 \(f(1,1)=1,\ \left.\dfrac{\partial f}{\partial x}\right|_{(1,1)}=2,\ \left.\dfrac{\partial f}{\partial y}\right|_{(1,1)}=3\), \(\varphi(x)=f\big(x,f(x,x)\big)\). 求 \(\left.\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\varphi^3(x)\right|_{x=1}\).

Example

设

试将 \(f(x)\) 展开成 \(x\) 的幂级数 , 并求级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{1-4n^2}\) 的和 .

Example

计算 \(\displaystyle I=\oint_L \big(y^2-z^2\big)\mathrm{d}x+\big(2z^2-x^2\big)\mathrm{d}y+\big(3x^2-y^2\big)\mathrm{d}z\), 其中 \(L\) 是平面 \(x+y+z=2\) 与柱面 \(|x|+|y|=1\) 的交线 , 从 \(z\) 轴正向看去 , \(L\) 为逆时针方向 .

Example

设 \(y=f(x)\) 在 \((-1,1)\) 内具有二阶连续导数且 \(f''(x)\neq 0\), 试证 :

(1) 对于 \((-1,1)\) 内的任一 \(x\neq 0\), 存在唯一的 \(\theta(x)\in(0,1)\), 使 \(f(x)=f(0)+x f'\big(\theta(x)x\big)\) 成立 ;

(2) \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\theta(x)=\frac{1}{2}\).

Example

设有一高度为 \(h(t)\) (\(t\) 为时间 ) 的雪堆在融化过程中 , 其侧面满足方程 \(z = h(t)-\dfrac{2\left(x^2+y^2\right)}{h(t)}\)( 设长度单位为厘米 , 时间单位为小时 ), 已知体积减少的速率与侧面积成正比 ( 比例系数 \(0.9\)), 问高度为 \(130\) ( 厘米 ) 的雪堆全部融化需多少小时 ?

Example

设 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\) 为线性方程组 \(Ax=\boldsymbol{0}\) 的一个基础解系 , \(\beta_1 = t_1\alpha_1+t_2\alpha_2\), \; \(\beta_2 = t_1\alpha_2+t_2\alpha_3,\cdots,\beta_s = t_1\alpha_s+t_2\alpha_1\), 其中 \(t_1,t_2\) 为实常数 . 试问 \(t_1,t_2\) 满足什么关系时 , \(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\) 也为 \(Ax=\boldsymbol{0}\) 的一个基础解系 .

Example

已知 \(3\) 阶矩阵 \(A\) 与 \(3\) 维向量 \(\boldsymbol{x}\), 使得向量组 \(\boldsymbol{x},A\boldsymbol{x},A^2\boldsymbol{x}\) 线性无关 , 且满足

(1) 记 \(P=(\boldsymbol{x},A\boldsymbol{x},A^2\boldsymbol{x})\), 求 \(3\) 阶矩阵 \(B\), 使 \(A=PBP^{-1}\);

(2) 计算行列式 \(|A+E|\).

Example

设某班车起点站上客人数 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\ (\lambda>0)\) 的泊松分布 , 每位乘客在中途下车的概率为 \(p\ (0<p<1)\), 且中途下车与否相互独立 . 以 \(Y\) 表示在中途下车的人数 , 求 :

(1) 在发车时有 \(n\) 个乘客的条件下 , 中途有 \(m\) 人下车的概率 ;

(2) 二维随机变量 \((X,Y)\) 的概率分布 .

Example

设总体 \(X\) 服从正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\ (\sigma>0)\), 从该总体中抽取简单随机样本 \(X_1,X_2,\cdots,X_{2n}\ (n\geqslant 2)\), 其样本均值为 \(\overline{X}=\dfrac{1}{2n}\sum\limits_{i=1}^{2n}X_i\), 求统计量 \(Y=\sum\limits_{i=1}^{n}\big(X_i+X_{n+i}-2\overline{X}\big)^2\) 的数学期望 \(E(Y)\).