这也能同构 ?
一道最近看到的好题，常规求导起码得导好几阶，但实际上，这个含三角函数的式子也是可以同构的！
Example
证明：当 \(0 < x < \dfrac{\pi}{2}\) 时，\(\sin x > \dfrac{4x}{x^{2}+4}\)
首先回顾以下正弦的万能公式：
\[
\begin{aligned}
\sin x &= 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}\\
&= \frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{\sin ^{2} \frac{x}{2}+\cos ^{2} \frac{x}{2}}\\
&= \frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2} \frac{x}{2}}
\end{aligned}
\]
所以待证式可以做如下变形：
\[
\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2} \frac{x}{2}} > \frac{2\cdot \frac{x}{2}}{1+ \left( \frac{x}{2} \right)^{2}}
\]
令 \(f(x)=\dfrac{2x}{1+x^{2}}\)，则只需证：
\[
f\left( \tan \frac{x}{2} \right) > f\left( \frac{x}{2} \right)
\]
\(x\in (0, \frac{\pi}{2})\) 时，\(\tan \frac{x}{2}\in (0,1)\)，\(\frac{x}{2}\in\left( 0, \frac{\pi}{4} \right) \subset (0,1)\)
显然有 \(f(x)\) 在 \(\left( 0, 1 \right)\) 上单调递增，且有 \(\tan \frac{x}{2}> \frac{x}{2}\)，因此 \(f\left( \tan \frac{x}{2} \right) > f\left( \frac{x}{2} \right)\) 成立，结论得证！
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