你不会准备把括号打开吧
本节给大家分享一道难度不大的题目，这道题最值得细细体会的地方在于：解题思路选择不同，整体计算量会相差悬殊。
例题 ¶
Example
设 \(a<b\)，求：
\[
I=\int_{a}^{b} (x-a)^{2}(b-x)^{3} \mathrm{~d} x
\]
首先如果你一上来就想直接打开括号，那还是歇歇吧，算肯定能算出来，但是那样就白白浪费了这道题。下面我将介绍三种方法，方法的技巧性由易到难，其中最后一种方法是最为简单的。
首先我们看到区间上下限和被积函数的关系，可以考虑先使用区间再现公式进行一步化简，再对得到的表达式进行中心平移，使得被积函数可以通过平方差公式化简，简化计算。
方法 1：区间再现 + 中心平移 ¶
区间再现得：
\[
\begin{aligned}
I &= \int_{a}^{b} (x-a)^{2}(b-x)^{3} \mathrm{~d} x \\
&= \int_{a}^{b} (b-x)^{2}(x-a)^{3} \mathrm{~d} x \\
&= \frac{1}{2} \int_{a}^{b} (x-a)^{2}(b-x)^{2}(b-x+x-a) \mathrm{~d} x \\
&= \frac{b-a}{2} \int_{a}^{b} (x-a)^{2}(x-b)^{2} \mathrm{~d} x
\end{aligned}
\]
令 \(x-a=t+ \frac{b-a}{2}\)，则 \(x-b=t- \frac{b-a}{2}\)，区间长度记作 \(L=b-a\)，则：
\[
\begin{aligned}
I &= \frac{L}{2}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \left( t+\frac{L}{2} \right)^{2}\left( t-\frac{L}{2} \right)^{2} \mathrm{~d} t \\
&= \frac{L}{2}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \left( t^{2}- \frac{L^{2}}{4} \right)^{2} \mathrm{~d} t \\
&= L\int_{0}^{\frac{L}{2}} \left( t^{4}-\frac{L^{2}}{2}t^{2} +\frac{L^{4}}{16}\right) \mathrm{~d} t \\
&= \frac{L^{6}}{60} \\
&= \frac{(b-a)^{6}}{60}
\end{aligned}
\]
第二种方法是考虑反复使用分部积分，不断对其中一个多项式降次，一直降到 0 次为止。
方法 2：反复分部积分 ¶
可以用表格法速算，这里不过多赘述。
\[
\begin{aligned}
I &= \frac{1}{3}\int_{a}^{b} (b-x)^{3} \mathrm{~d} (x-a)^{3}\\
&= \frac{1}{3}(x-a)^{3}(b-x)^{3}\bigg|_{a}^b + \int_{a}^{b} (x-a)^{3}(b-x)^{2} \mathrm{~d} x \\
&= \int_{a}^{b} (x-a)^{3}(x-b)^{2} \mathrm{~d} x \\
&= \frac{1}{4}\int_{a}^{b} (x-b)^{2} \mathrm{~d} (x-a)^{4}\\
&= \frac{1}{4}(x-a)^{4}(x-b)^{2}\bigg|_{a}^b + \frac{1}{2}\int_{a}^{b} (x-a)^{4}(b-x) \mathrm{~d} x \\
&= \frac{1}{2}\int_{a}^{b} (x-a)^{4}(b-x) \mathrm{~d} x \\
&= \frac{1}{10}\int_{a}^{b} (b-x) \mathrm{~d} (x-a)^{5} \\
&= \frac{1}{10}(x-a)^{5}(b-x) + \frac{1}{10}\int_{a}^{b} (x-a)^{5} \mathrm{~d} x \\
&= \frac{1}{10}\int_{a}^{b} (x-a)^{5} \mathrm{~d} x \\
&= \frac{1}{60}(x-a)^{6}\bigg|_{a}^b\\
&= \frac{(b-a)^{6}}{60}
\end{aligned}
\]
最后一种方法也是最本质的方法，就是通过把区间压缩到 \([0,1]\) 上，从而转化为 \(\mathrm{Beta}\) 函数，整个过程几乎 0 计算量，简洁优雅！
方法 3：区间压缩 + Beta 函数 ¶
令 \(x=a+(b-a)t\)，则：
\[
\begin{aligned}
I &= \int_{a}^{b} (x-a)^{2}(b-x)^{3} \mathrm{~d} x \\
&= \int_{0}^{1} (b-a)^{2}t^{2}(b-a)^{3}(1-t)^{3} (b-a)\mathrm{~d}t \\
&= (b-a)^{6}\cdot \mathrm{B}(3,4)\\
&= (b-a)^{6}\cdot \frac{\Gamma(3)\Gamma(4)}{\Gamma(7)}\\
&= (b-a)^{6} \cdot \frac{2 \cdot 3 \cdot 2}{ 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}\\
&= \frac{(b-a)^{6}}{60}
\end{aligned}
\]
事实上，通过这种方法我们可以将问题一般化为如下形式：
一般化
\[
I=\int_{a}^{b} (x-a)^{p}(b-x)^{q} \mathrm{~d} x ,\quad p>-1,q>-1
\]
令 \(x=a+(b-a)t\)，则：
\[
\begin{aligned}
I &= \int_{a}^{b} (x-a)^{p}(b-x)^{q} \mathrm{~d} x \\
&= \int_{0}^{1} (b-a)^{p}t^{p}(b-a)^{q}(1-t)^{q} (b-a)\mathrm{~d} t \\
&= (b-a)^{p+q+1}\int_{0}^{1} t^{p}(1-t)^{q} \mathrm{~d} t \\
&= (b-a)^{p+q+1}\cdot\mathrm{B}(p+1,q+1)
\end{aligned}
\]
如果对 Beta 函数不熟悉的同学，可以参考我之前写的系列文章：
搜一搜
