1993 年

Example

函数 \(F(x)=\displaystyle\int_{1}^{x}\left(2-\frac{1}{\sqrt{t}}\right)\mathrm{d}t\ (x>0)\) 的单调减区间为 ?

Example

由曲线 \(\begin{cases} 3x^2+2y^2=12\\ z=0 \end{cases}\) 绕 \(y\) 轴旋转一周而得到的旋转曲面在点 \(\big(0,\sqrt{3},\sqrt{2}\big)\) 处的指向外侧的单位法向量为 ?

Example

设函数 \(f(x)=\pi x+x^2\ (-\pi<x<\pi)\) 的傅里叶级数展开式为 \(\displaystyle\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\)，则其中系数 \(b_3\) 的值为 ?

Example

设数量场 \(u=\ln\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)，则 \(\mathrm{div}(\mathrm{grad}\,u)=\) ?

Example

设 \(n\) 阶矩阵 \(A\) 的各行元素之和均为零，且 \(A\) 的秩为 \(n-1\)，则线性方程组 \(AX=0\) 的通解为 ?

Example

设 \(f(x)=\displaystyle\int_{0}^{\sin x}\sin t^2\mathrm{d}t,\ g(x)=x^3+x^4\)，则当 \(x\to 0\) 时，\(f(x)\) 是 \(g(x)\) 的 ?

(A) 等价无穷小

(B) 同阶但非等价的无穷小

(C) 高阶无穷小

(D) 低阶无穷小

Example

双纽线 \((x^2+y^2)^2=x^2-y^2\) 所围成的区域面积可用定积分表示为 ?

(A) \(2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos2\theta\,\mathrm{d}\theta\)

(B) \(4\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos2\theta\,\mathrm{d}\theta\)

(C) \(2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{\cos2\theta}\,\mathrm{d}\theta\)

(D) \(\displaystyle\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos^22\theta\,\mathrm{d}\theta\)

Example

设有直线 \(L_1: \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-5}{-2}=\dfrac{z+8}{1}\) 与 \(L_2: \begin{cases} x-y=6,\\ 2y+z=3, \end{cases}\) 则 \(L_1\) 与 \(L_2\) 的夹角为 ?

(A) \(\dfrac{\pi}{6}\)

(B) \(\dfrac{\pi}{4}\)

(C) \(\dfrac{\pi}{3}\)

(D) \(\dfrac{\pi}{2}\)

Example

设曲线积分 \(\displaystyle\int\limits_L \big[f(x)-\mathrm{e}^x\big]\sin y\,\mathrm{d}x-f(x)\cos y\,\mathrm{d}y\) 与路径无关 , 其中 \(f(x)\) 具有一阶连续导数 , 且 \(f(0)=0\), 则 \(f(x)\) 等于 ?

(A) \(\dfrac{\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^x}{2}\)

(B) \(\dfrac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}\)

(C) \(\dfrac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2}-1\)

(D) \(1-\dfrac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2}\)

Example

已知 \(\boldsymbol{Q}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & t\\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}\)，\(\boldsymbol{P}\) 为 3 阶非零矩阵 , 且满足 \(\boldsymbol{PQ} = \boldsymbol{O}\), 则 ?

(A) \(t=6\) 时 , \(\boldsymbol{P}\) 的秩必为 \(1\)

(B) \(t=6\) 时 , \(\boldsymbol{P}\) 的秩必为 \(2\)

(C) \(t\ne 6\) 时 , \(\boldsymbol{P}\) 的秩必为 \(1\)

(D) \(t\ne 6\) 时 , \(\boldsymbol{P}\) 的秩必为 \(2\)

Example

求 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty} \left(\sin\frac{2}{x}+\cos\frac{1}{x}\right)^x\).

Example

求 \(\displaystyle\int \frac{x\mathrm{e}^x}{\sqrt{\mathrm{e}^x-1}}\,\mathrm{d}x\).

Example

求微分方程 \(x^2 y'+xy=y^2\) 满足初始条件 \(y\big|_{x=1}=1\) 的特解 .

Example

计算曲面积分 \(\displaystyle\iint_\Sigma 2xz\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z+yz\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x-z^2\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\), 其中 \(\Sigma\) 是由曲面 \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) 与 \(z=\sqrt{2-x^2-y^2}\) 所围立体表面的外侧 .

Example

求级数 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(n^2-n+1)}{2^n}\) 的和。

Example

设在 \([0,+\infty)\) 上函数 \(f(x)\) 有连续导数 , 且 \(f'(x)\geqslant k>0\), \(f(0)<0\). 证明 : \(f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 内有且仅有一个零点。

Example

设 \(b>a>\mathrm{e}\), 证明 : \(a^b>b^a\).

Example

已知二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+2ax_2x_3\ (a>0)\), 通过正交变换化为标准形 \(f=y_1^2+2y_2^2+5y_3^2\), 求参数 \(a\) 及所用的正交变换矩阵。

Example

设 \(\boldsymbol{A}\) 是 \(n\times m\) 矩阵 , \(\boldsymbol{B}\) 是 \(m\times n\) 矩阵 , 其中 \(n<m\), \(\boldsymbol{E}\) 是 \(n\) 阶单位矩阵 , 若 \(\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{E}\), 证明 \(\boldsymbol{B}\) 的列向量组线性无关。

Example

设物体 \(A\) 从点 \((0,1)\) 出发 , 以速度大小为常数 \(v\) 沿 \(y\) 轴正向运动 , 物体 \(B\) 从点 \((-1,0)\) 与 \(A\) 同时出发 , 其速度大小为 \(2v\), 方向始终指向 \(A\), 试建立物体 \(B\) 的运动轨迹所满足的微分方程 , 并写出初始条件。

Example

一批产品共有 \(10\) 个正品和 \(2\) 个次品 , 任意抽取两次 , 每次抽一个 , 抽出后不再放回 , 则第二次抽出的产品是次品的概率为 ?

Example

设随机变量 \(X\) 服从 \((0,2)\) 上的均匀分布 , 则随机变量 \(Y=X^2\) 在 \((0,4)\) 内的概率密度 \(f_Y(y)=\) ?

Example

设随机变量 \(X\) 的概率密度为 \(f(x)=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-|x|},\,-\infty < x < +\infty\).

(1) 求 \(X\) 的数学期望 \(E(X)\) 和方差 \(D(X)\);

(2) 求 \(X\) 与 \(|X|\) 的协方差 , 并问 \(X\) 与 \(|X|\) 是否不相关 ?

(3) 问 \(X\) 与 \(|X|\) 是否相互独立 ? 为什么 ?