隐函数不定积分
本节带来的是隐函数的不定积分问题。
Example
若 \(y^{2}(x-y)=x^{2}\) 定义了 \(y(x)\)，求：
\[
\int \frac{\mathrm{~d} x}{y^{2}}
\]
对于这类问题，常用的方法是使用参数方程单值化，也就是如下的方法一：
方法 1 ¶
观察原方程 \(y^2(x-y) = x^2\)，两边同除以 \(y^2\) 可得：
\[
x - y = \left(\frac{x}{y}\right)^2
\]
令 \(t = \dfrac{x}{y}\)（即 \(x = ty\)
\[
ty - y = t^2 \implies y = \frac{t^2}{t-1}
\]
\[
x = ty = \frac{t^3}{t-1}
\]
则：
\[
\mathrm{~d} x = \mathrm{~d} \left(\frac{t^3}{t-1}\right) = \frac{3t^2(t-1) - t^3}{(t-1)^2}\mathrm{~d} t = \frac{t^2(2t-3)}{(t-1)^2}\mathrm{~d} t
\]
将 \(y^2 = \dfrac{t^4}{(t-1)^2}\) 与 \(\mathrm{~d} x\) 代入原积分中：
\[
\begin{aligned}
\int \frac{1}{y^2} \mathrm{~d} x &= \int \frac{(t-1)^2}{t^4} \cdot \frac{t^2(2t-3)}{(t-1)^2} \mathrm{~d} t \\
&= \int \frac{2t-3}{t^2} \mathrm{~d} t\\
&=\int \left(\frac{2}{t} - \frac{3}{t^2}\right) \mathrm{~d} t \\
&= 2\ln\vert{}t\vert{} + \frac{3}{t} + C\\
&= 2\ln\left\vert{}\frac{x}{y}\right\vert{} + \frac{3y}{x} + C
\end{aligned}
\]
对于这类隐函数的不定积分，我们还有一种常用的方法是直接对方程全微分，寻找目标被积函数的微分表达式，当然这种方法非常考验代数变形能力。
方法 2 ¶
将原方程写为 \(x y^2 - y^3 - x^2 = 0\)，对两边求全微分：
\[
(y^2 - 2x) \mathrm{~d} x + (2xy - 3y^2) \mathrm{~d} y = 0
\]
两边同除以 \(x y^2\) 展开：
\[
\left( \frac{1}{x} - \frac{2}{y^2} \right) \mathrm{~d} x + \left( \frac{2}{y} - \frac{3}{x} \right) \mathrm{~d} y = 0
\]
则：
\[
\color{red}\frac{2}{y^2} \mathrm{~d} x = \frac{\mathrm{~d} x}{x} + \frac{2\mathrm{~d} y}{y} - \frac{3\mathrm{~d} y}{x}
\]
由原方程 \(y^2(x-y) = x^2\) 两边同除以 \(x^2\) 得：
\[
1 - \frac{y}{x} = \frac{x}{y^2} \implies \frac{y}{x^2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{y^2}
\]
利用商的求导法则展开 \(\mathrm{~d} \left(\dfrac{y}{x}\right)\)：
\[
\begin{aligned}
\mathrm{~d} \left(\frac{y}{x}\right) &= \frac{x \mathrm{~d} y - y \mathrm{~d} x}{x^2} \\
&= \frac{\mathrm{~d} y}{x} - \frac{y}{x^2} \mathrm{~d} x
\end{aligned}
\]
则：
\[
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{~d} y}{x} &= \frac{y}{x^2} \mathrm{~d} x + \mathrm{~d} \left(\frac{y}{x}\right) \\
&= \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{y^2} \right) \mathrm{~d} x + \mathrm{~d} \left(\frac{y}{x}\right)
\end{aligned}
\]
代入红色式子得：
\[
\begin{aligned}
\color{blue}{\frac{2}{y^2} \mathrm{~d} x} &= \frac{\mathrm{~d} x}{x} + \frac{2\mathrm{~d} y}{y} - 3 \left[ \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{y^2} \right) \mathrm{~d} x + \mathrm{~d} \left(\frac{y}{x}\right) \right]\\
&=-\frac{2\mathrm{~d} x}{x} + \frac{2\mathrm{~d} y}{y} + {\color{blue}{\frac{3}{y^2} \mathrm{~d} x}} - 3 \mathrm{~d} \left(\frac{y}{x}\right)
\end{aligned}
\]
整理得：
\[
\frac{1}{y^2} \mathrm{~d} x = 2 \left( \frac{\mathrm{~d} x}{x} - \frac{\mathrm{~d} y}{y} \right) + 3 \mathrm{~d} \left(\frac{y}{x}\right)
\]
直接积分即可得到最终答案：
\[
\int \frac{1}{y^2} \mathrm{~d} x = 2 \ln\left\vert{}\frac{x}{y}\right\vert{} + \frac{3y}{x} + C
\]
习题 ¶
Question
若 \(y(x-y)^{2}=x\) 定义了 \(y(x)\)，求：
\[
\int \frac{\mathrm{~d} x }{x-3y}
\]
Answer
试着使用本节讲的两种方法进行解决！
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