级数板块的一个反例
Example
已知数列 \(\left\{ x_{n} \right\}\) 满足：
-
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }x_{n}=0\)
-
部分和 \(\left\{ S_{n} \right\}\) 有界
问：数列 \(\left\{ S_{n} \right\}\) 是否一定收敛？
不一定收敛，反例：\(S_{n}=\sin \sqrt{ n }\)，显然部分和在 \([-1,1]\) 之间震荡，因此不收敛。但是部分和确实有界。
下面来验证这个级数满足题设的两个条件：
\[
x_{n}=S_{n}-S_{n+1}=\sin \sqrt{ n }-\sin \sqrt{ n-1 }
\]
考虑 \(\mathrm{Lagrange}\) 中值定理，有：
\[
x_{n}=\cos(\xi_{n})\cdot(\sqrt{ n }-\sqrt{ n-1 })=\cos(\xi_{n}) \frac{1}{\sqrt{ n }+\sqrt{ n-1 }}
\]
其中 \(\xi_{n}\in(\sqrt{ n-1 },\sqrt{ n })\)
由于 \(|\cos(\xi_{n})|\leqslant 1\) 且 \(\dfrac{1}{\sqrt{ n }+\sqrt{ n+1 }}\sim \dfrac{1}{2\sqrt{ n }}\to 0\)，故通项 \(x_{n}\) 确实趋近于 \(0\).
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